SEMELLANZA E TRIGONOMETRÍA  
Xeometría
4. O TEOREMA DE TALES.

Na seguinte escena Descartes aparecen dúas rectas secantes (córtanse no punto O) que son á súa vez cortadas por tres rectas paralelas (nos puntos A, B, C e A ´, B´, C ´, respectivamente). Con axuda do rato podes mover os puntos O, A, B, C e C ´. Xoga un pouco, observa os valores calculados na escena e intenta extraer algunha conclusión.
escena adaptada de José Luis Bernal Garcías

(Observa que ao mover o punto O ou o punto C, a recta que pasa por A e por B pode moverse. Se non queres que isto suceda ten un pouco de pulso ao mover estes puntos).

Se traballaches a escena anterior descubrirías o

Teorema de Tales: Cando dúas rectas secantes son cortadas por unha serie de rectas paralelas, os segmentos determinados nunha das rectas son proporcionais aos segmentos correspondentes da outra recta.

No caso da escena:OA/OA' = OB/OB' = OC/OC' = AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C' = constante

Actividade 5. No teu caderno debuxa unha escena similar á anterior (emprega toda a páxina; canto maior sexa o debuxo mellores resultados obterás). Cunha regra mide coidadosamente os segmentos determinados nas dúas rectas e calcula as súas razóns. Séguese verificando o teorema de Tales? Razoa a túa resposta.

Fíxate que de OA/OA' = OB/OB' deducimos OA · OB' = OB · OA' (produto de medios = produto de extremos) e de aquí OA/OB = OA'/OB'

Obtemos así outra forma de enunciar o Teorema de tales:

Teorema de Tales (Segundo enunciado): Cando dúas rectas secantes son cortadas por unha serie de paralelas, a razón entre dous segmentos dunha das rectas é igual á razón entre os segmentos correspondentes da outra recta.

No caso da escena: OA/OB = OA'/OB'; AB/OB = A'B'/OB'; etc.

Actividade 6. Cantas proporcións similares ás anteriores podes escribir? Compróbaas todas no debuxo feito no teu caderno.
5. Consecuencia do teorema de Tales
Na seguinte escena o teorema de Tales séguese cumprindo e, ademais, pode concluirse que: Toda paralela a un lado dun triángulo que corta os outros dous, determina sobre estes segmentos proporcionais. No triángulo ABC trázase unha paralela ao lado BC que pasa por D e E e determina segmentos que son proporcionais porque os seus cocientes son iguais.

escena adaptada de Miguel García Reyes

Actividade 7.- Pulsa o botón Inicio e debuxa no teu caderno un triángulo idéntico ao da escena, traza a paralela ao lado BC e comproba as medidas e os seus cocientes. Constata como se desprazas os puntos B e C horizontalmente o valor dos cocientes non varía, non obstante si varía ao desprazar a recta.

Actividade 8. - Move a recta por enriba do vértice A e verás que segue cumpríndose a proporcionalidade deses segmentos. Pasará igual se a arrastras por debaixo de B e C.

Actividade 9- Nun triángulo de lados AB=8 cm, AC=10 cm e BC=6 cm trázase unha paralela ao lado BC a unha distancia de 3 cm do vértice A, tomados sobre o lado AB, e que corta aos lados en D e E. Calcula as medidas AD, AE e DE
6. SEMELLANZA DE TRIÁNGULOS
Dous triángulos son semellantes cando teñen os seus ángulos iguais e os seus lados proporcionais; é dicir, se os triángulos ABC e  A' B 'C' son semellantes verifícase que os ángulos A=A', B=B' e C=C', e os cocientes A'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA=r, chamada razón de semellanza.

escena adaptada de Miguel García Reyes

Actividade 10 - Na escena Descartes modifica a forma e o tamaño do triángulo rosa e observa como varía o triángulo azul, semellante ao primeiro.

Actividade 11- Se os lados do triángulo azul fosen 3, 4 e 5 Que valor terían os do azul?

Actividade 12.-Varía a razón de semellanza ata valer 1 e procura que os triángulos son idénticos en forma e tamaño.

Actividade 13-Diminúe a razón ata 0.5 e compara ambos os dous triángulos ¿Como son agora os lados do triángulo azul se os do rosa fosen 3, 5 e 7?

Actividade 14.- Repite a operación para razóns 1.5, 0.25 e 3. Neste último caso cambia a escala a 16 para poder ver os dous triángulos.

Actividade 15.- Dous triángulos iguais, serían semellantes? E dous triángulos equiláteros?

Actividade 16.- Se dous triángulos teñen iguais os seus ángulos, son semellantes? Se dous triángulos teñen os seus lados proporcionais, son semellantes?

Lembra que para que dúas figuras sexan semellantes éstas terán que ter os segmentos asociados proporcionais e os ángulos asociados iguais.

Sen embargo, polo que acabamos de ver, para que dous triángulos sexan semellantes basta con que cumpran unha das dúas condicións anteriores (pois a outra xa a cumprirán automáticamente). Isto non sucede con outras figuras planas que non sexan triángulos, repasa a Actividade 4.
 
Podemos enunciar os seguintes criterios para a semellanza de triángulos:

Criterio LLL: se dous triángulos teñen os lados porporcionais, serán semellantes.

Criterio AAA: se dous triángulos teñen os ángulos iguais, serán semellantes.

Estas ideas sobre a semellanza  de triángulos permitiranos definir as razóns trigonométricas.
 
Departamento de matemáticas do I.E.S. Pintor Colmeiro
© Ministerio de Educación, Política Social e Deporte. Ano 2008