TEOREMA DE TALES
Xeometría
 
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
3. O TEOREMA DE TALES
Na seguinte escena Descartes aparecen dúas rectas secantes (córtanse no punto O) que son á súa vez cortadas por tres rectas paralelas (nos puntos A, B, C e A ´, B ´, C ´, respectivamente). Coa axuda do rato podes mover os puntos O, A, B, C e C ´.  Xoga un pouco, observa os valores calculados na escena e intenta extraer algunha conclusión.

(Observa que ao mover o punto O ou o punto C, a recta que pasa por A e por B pode moverse. Se non queres que isto suceda ten un pouco de pulso ao mover estes puntos).


Se traballaches a escena anterior terás descuberto o

Teorema de Tales: Cando dúas rectas secantes son cortadas por unha serie de rectas paralelas, os segmentos determinados nunha das rectas son proporcionais aos segmentos correspondentes da outra recta.

No caso da escena:   OA/OA' = OB/OB' = OC/OC' = AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C' = constante

3.1- No teu caderno debuxa unha escena similar á anterior (emprega toda a páxina; canto maior sexa o debuxo mellores resultados obterás). Cunha regra mide coidadosamente os segmentos determinados nas dúas rectas e calcula as súas razóns. Séguese verificando o teorema de Thales? Razoa a túa resposta.

Fíxate que de OA/OA' = OB/OB' deducimos OA · OB' = OB · OA' (produto de medios = produto de extremos) e de aquí OA/OB = OA'/OB'

Obtemos así outra forma de enunciar o Teorema de Tales:


Teorema de Tales(segundo enunciado): Cando dúas rectas secantes son cortadas por unha serie de paralelas, a razón entre dous segmentos dunha das rectas é igual á razón entre os segmentos correspondentes da outra recta.

No caso da escena:    OA/OB = OA'/OB'; AB/OB = A'B'/OB'; etc.

3.2- Cantas proporcións similares ás anteriores podes escribir? Compróbaas todas no debuxo feito no teu caderno.
4. Uso do teorema de Tales no estudo dos triángulos.
Na seguinte escena temos un triángulo ABC. Por un punto B', situado sobre un dos lados do triángulo, trazamos unha paralela o lado BC, a cal corta ao outro lado en C'. Observemos que agora temos un segundo triángulo, el AB'C'. Preguntámonos se hai algunha relación entre os dous triángulos.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Arrastra o vértice C co  rato, para cambiar a forma do triángulo inicial.

Terás observado:

Toda paralela a un dos lados dun triángulo determina cos outros dous lados un novo triángulo, cuxos lados son proporcionais aos do primeiro.

4.1- Esta relación entre os lados de ambos os dous triángulos é unha consecuencia do teorema de Tales. En efecto:

a) Pulsa el botón 'Inicio' para volver a escena ó principio. Aplicando o teorema de Tales dende o vértice A obtemos:

AB'/AB = AC'/AC

b) Co rato arrastra o punto B' ata facelo coincidir co punto B. Se agora volvemos a aplicar o teorema de Tales dende o vértice B obtemos:

AB'/AB = B'C'/BC

c) Como as dúas proporcións anteriores coinciden no primeiro membro, obtemos o resultado buscado:

AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC

4.2- Volvamos o inicio da escena (botón 'Inicio').
Os ángulos correspondentes de ambos triángulos son iguais. Podes xustificar esta afirmación?

Resumindo as conclusión das actividades 4.1 e 4.2 temos que:

Toda paralela a un lado dun triángulo ABC determina cos outros dous lados un novo triángulo AB'C' e cúmprense as dúas condicións seguintes:

  1. Seus lados respectivos son proporcionais.
  2. Seus ángulos respectivos son iguais.

Como estas son as condicións que teñen que cumprir dous polígonos para ser semellantes, podemos concluír que:

Toda paralela a un lado de un triángulo determina cos outros dous lados un novo triángulo SEMELLANTE ao primeiro.

       
           
  Adaptación: Mª Isabel Hermida Rodríguez
 
© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2009
 
 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.