Figuras semellantes

	FIGURAS SEMELLANTES
	Xeometría

1. CONCEPTO DE SEMELLANZA

Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto tamaño.

Observa a seguinte escena Descartes: O cuadrilátero ABCD é fixo, mentres que o A´B´C´D´ pode cambiar de forma estirando calquera dos seus vértices co el rato. Adica un tempo a cambiar a forma do segundo cuadrilátero e a comprender os valores que calcula a escena; despois pasa ás actividades que se che propoñen mais adiante.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

1.1- Intenta que o cuadrilátero vermello sexa semellante ó azul pero dun tamaño:

    a) dobre
    b) triplo
    c) metade
    d) vez e media

(Observa que resulta moi difícil obter resultados exactos; non importa, confórmate con solucións aproximadas; o importante é extraer conclusións sobre as relacións entre os lados e os ángulos de polígonos semellantes).

Terás observado:

CRITERIO DE SEMELLANZA ENTRE DOUS POLÍGONOS: Para que dous polígonos (co mesmo número de lados) sexan semellantes téñense que cumprir as dúas condicións seguintes:
    1. Os ángulos respectivos teñen que ser iguais:
                        A = A´ ; B = B´ ; C = C´ ; ...
    2. Os lados respectivos teñen que ser proporcionais:
                        AB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´D´ = ... = constante

Os vértices, lados e ángulos correspondentes a dous polígonos semellantes chámanse homólogos; a constante de proporcionalidade (que aparece sempre que se dividen as lonxitudes de dous lados homólogos) chámase razón de semellanza.

1.2- Contesta no teu caderno:

a) Cal é a razón de semellanza en cada un dos apartados da actividade 1?

b) Dous triángulos son semellantes e a razón de semellanza é 5. Se os lados dun dos triángulos miden 6, 11 e 15 cm, Canto miden os lados do outro triángulo? Que podes dicir dos ángulos dos dous triángulos?

1.3 -Vexamos que, en xeral, se só se cumpre unha dos dous criterios anteriores os polígonos resultantes poden non ser semellantes:

a) No teu caderno debuxa un cadrado e un rombo (que non sexa un cadrado ou dito doutra forma, que non teña ángulos rectos), ambos os dous de 5 cm de lado. Aínda que os seus ángulos homólogos non son iguais, os lados homólogos son proporcionais (cal é a razón de semellanza?) Parécenche semellantes? Deduce a conclusión.

b) Pensa agora en dous cuadriláteros con ángulos homólogos iguais e que non obstante non sexan semellantes por non ter os seus lados homólogos proporcionais. Debúxaos no teu caderno e escribe a conclusión.

(Pista: os dous cuadriláteros poden ter todos os seus ángulos rectos)

2. Procedemento para a construción de figuras semellantes.

Vexamos un procedemento sinxelo para construír figuras semellantes.

Na seguinte escena Descartes podes ver o pentágono A´B´C´D´E´semellante ó ABCDE e construído a partir del con axuda dun punto P calquera e do feixe de cinco rectas que con centro en P pasan polos vértices do pentágono ABCDE

Observa que tal e como se encontra a escena nun principio (se a tes cambiado, pulsa no botón 'Inicio' na parte inferior esquerda da escena), os puntos A', B', C'... obtéñense de forma que:

PA´ = 2 · PA ; PB´ = 2 · PB ; PC´ = 2 · PC ...

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Na parte inferior da escena podes cambiar, con axuda das frechiñas ou escribindo directamente o novo valor, a razón de semellanza (que en principio está establecida a 2; recorda que iso quere dicir que os lados do segundo pentágono medirán o dobre que os respectivos lados homólogos do primeiro).

2.1-

a) Con axuda das frechiñas, modifica a razón de semellanza. Séguese mantendo a semellanza entre os dous pentágonos?

b) Que pasa cando a razón de semellanza é maior que 1? E cando é menor que 1? E cando exactamente igual a 1? Escribe as túas respostas no caderno.

c) Fíxate que en todos os casos os lados homólogos son paralelos, o que indica que os ángulos homólogos son iguais. Cando dúas figuras semellantes presentan os seus lados homólogos paralelos dise que están en posición de Thales.

2.2- O punto P pode cambiarse, arrastrándoo co punteiro do rato. Proba diferentes posicións relativas do punto P respecto do pentágono ABCDE:

a) Exterior

b) Interior

c) Nun vértice.

2.3- No teu caderno describe con precisión o método de construción de polígonos semellantes. Exemplifícao co debuxo de tres exemplos, un por cada unha das posicións relativas de P tratadas na actividade anterior.

	Adaptación: Mª Isabel Hermida Rodríguez

	© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2009

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.