RADICACIÓ DE NOMBRES COMPLEXOS
Àlgebra
 
25.- RADICACIÓ DE NOMBRES COMPLEXOS
Ja saps que l'operació de radicació és l'inversa de la de potenciació.
 
En aquesta escena se'ns presenta el vector d'un nombre complexo z, i una potència de z, zn.

Anem a veure que hi ha més d'un nombre complex z, que en calcular la potència d'exponent n, ens dóna el mateix nombre complex  zn.
EXEMPLE 1

Per comprovar-ho, segueix les instruccions següents en l'escena:

En l'inici d'aquesta escena tenim que

(230º)3 = 890º
1.- Canvia el valor de l'argument de z a A=150º i prem ENTER.

Pots veure que (2150º)3 = 8450º = 890º+360º = 890º
2.- Canvia novament el valor de l'argument de z, a A=270º i prem ENTER.

Pots veure que (2270º)3 = 8810º = 890+2·360º = 890º
3.- En resum,  tenim que en els tres casos z3 és el mateix:

(230º)3 = (2150º)3 = (2270º)3 = 890º
Observa que si unim els tres afixos (extrems dels vectors) formen un triangle equilàter.
Què vol dir tot això?

Doncs que si calculem l'arrel cúbica de 890º, trobarem tres solucions: 230º, 2150º i 2270º

Observa que hem seguit el camí invers que quan elevem un nombre complex al cub, hem fet l'arrel cúbica del mòdul i hem dividit l'argument per 3.

EXEMPLE 2

1.- En l'escena prem el control inici

2.- Introdueix  r=1, A=60º, n=4 prement ENTER cada cop
3.- Prem el control netejar. Pots canviar el zoom i arrossegar amb el ratolí l'origen de coordenades.
4.- Ara tenim que (160º)4 = 1240º
5.- Introdueix A=150º, ENTER
6.- Ara tenim que
(1150º)4 = 1600º = 1240º+360º = 1240º
7.- Introdueix A=240º, ENTER
8.- Ara tenim que
(1240º)4 = 1960º = 1240º+2·360º = 1240º
9.- Introdueix A=330º, ENTER
10.- Ara tenim que z4 és el mateix
(1330º)4 = 11320 = 1240º+3·360º = 1240º
11.- Per tant:
D'aquests dos exemples deduim que l'arrel cúbica té tres solucions, i l'arrel quarta, quatre.
26. ARREL QUADRADA
Anem a trobar , llegeix detingudament el procés:

1.- Primer passem z = 4 + 3i a forma polar:

z=4+3i=536.9º

2.- L'arrel quadrada de z, tindrà per mòdul l'arrel quadrada del mòdul de z i per argument, el de z dividit per 2.

3.- Les dues solucions d'aquesta arrel quadrada són:

Si k=0 --> z1 =18.4º

Si k=1 --> z2 =198.4º
Totes aquestes operacions que hem fet les pots veure en l'escena. Amb k=0 veuràs la primera solució i amb k=1 la segona, i veuràs també com queden els vectors, tant de z com de z1 i z2

Si seguim donant valors a k=2, 3, 4, ... veurem que les solucions que surten coincideixen amb les que ja s'han trobat, després d'haver donat 1, 2, 3, ... voltes a la circumferència.

EJXERCICI 26 

Calcula a la teva llibreta les dues arrels quadrades de cadascun dels següents complexos, passant-los prèviament a la forma polar:

a) z = 1 - i b) z = -9 c) z = 4i d) z =-2 + 2i  

Després comprova els teus resultats en l'escena. 

Després  d'introduir els valors d'a i b, has de prémer el control NETEJAR. Però quan canvies de k=0 a k=1 no és necesari, així veuràs les dues solucions a la vegada.

  Tornar a l'índex   anterior   següent  
           
  Juan Madrigal Muga i Ángela Núñez Castaín, traducció i adaptació a càrrec de Zoila Pena Terrén, febrer de 2009
 
© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2003
 
 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.