Nombre d'or, Section dorée, Divine proportion et autres apellations mystiques... sont des dénominations qui désignent un rapport arithmétique : le nombre d'or. Ce dernier n'est ni une mesure, ni une dimension, c'est un rapport entre deux grandeurs homogènes.
Jean-Paul Delahaye affirme (pour la Science Août 1999) que le chemin des mathématiques à la numérologie est dangereux parce riche en interprétations...  En effet des milliers de pages ont été écrites sur le nombre d'or, baptisé F. Il serait connu depuis la nuit des temps. On le retrouve chez les peintres du début du siècle, dans les cathédrales gothiques, sur les façades des temples grecs et même au cœur de la Grande Pyramide. On dit qu'il aurait été transmis de bouche de pyhtagoricien à oreille d'initié, comme un secret universel et immuable (il n'était pas considéré comme un nombre puisque seuls les entiers sont des nombres chez les grecs). De nombreux tableaux seraient conçus selon les règles de la "divine proportion" (expression datant de 1509 avec Léonard de Vinci). En réalité avec quelques approximations il est très facile de l'approcher.

Certains peintres comme Salvatore Dali (Sacrement de la dernière cène), Seurat (le Cirque) ou Mondrian (Composition) l'ont d'ailleurs utilisé par jeu. Le nombre d'or véritable petit nirvana arithmétique a été une voie privilégiée de communication avec l'au-delà...

Cirque (Musée d’Orsay 1890-1891). Les lignes horizontales tracées dans le tableau ont des grandeurs proportionnelles à F . Il en serait de même pour la loge délimitée par des lignes de couleur rouge vif formant un rectangle d’or. L’utilisation du nombre d’or dans ce tableau est opposée aux lignes courbes du personnage central du tableau ainsi qu’aux autres acrobates. Le nombre d’or met donc en valeurs les lignes géométriques des bancs.

Marguerite Neveux a démontré qu'en réalité les artistes divisaient leurs toiles en huitièmes, ce qui est très facile, puis en 4/8 et en 5/8 qui est très proche du nombre d'or à 7 millièmes près. Cette petite différence a suffi à créer bien des rêves dorés et à déchaîner des passions qui retombent actuellement (les fractales sont aujourd'hui plus motivantes).
En réalité le format le plus utilisé est le fameux 21/29.7... (A4, A3,...) seul format qui plié en deux garde la même forme : rapport .
Tout de même le nombre d'or a des propriétés mathématiques bien réelles et on le retrouve dès qu'on a une symétrie d'ordre 5. Nous l'avons déjà rencontré avec les lapins de Fibonacci, dans les morceaux disparus...
Nous allons en découvrir quelques unes de ses propriétés mathématiques.
Si vous ne l'avez pas effectué, n'hésitez pas à faire le petit test.

Le nombre d'or, définition

Ce nombre est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes. Il est déterminé par une proportion :
Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que la grande au tout. (Vitruve, architecte romain 1^er siècle avant notre ère).

Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons :
a/b = (a + b) / a.
a/b = 1 + b/a
pour simplifier, prenons comme variable x = a/b.
alors nous obtenons :
x = 1 + 1/x
x - 1 - 1/x = 0
comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons
(E) :       x² - x - 1 = 0
qui admet comme racine positive :
x = ( 1 +) / 2
que nous notons F et vaut à peu près 1,618....
C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit F (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes.

Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats :

F2 - F - 1 = 0 F = ( 1 +) / 2 Pour obtenir le carré , on ajoute l'unité : F2 = F + 1 Pour obtenir l'inverse, on soustrait l'unité : 1/F = F - 1

Des résultats précédents nous pouvons déduire : x² = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où

et

puis

Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés :   mais aussi :

A l'intérieur du système formé des mesures qui sont des termes d'une suite géométrique de raison F, les multiplications, divisions, élévations aux puissances et extractions de racines peuvent être remplacées par des additions et soustractions, ce qui rend le calcul abordable à des personnes ne sachant que compter comme c'était le cas dans les systèmes anciens de numération (pensons aux chiffres romains...).  

  

Le rectangle d'or

Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport longueur sur largeur est égal au nombre F.
On part d'un côté de longueur 1/2 pour construire un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 et 1/2.
En utilisant le théorème de Pythagore, l'hypoténuse mesure ( 1 +) / 2 = F.
Il suffit de terminer le rectangle d'or dont les côtés mesurent 1 et F.
Le rapport de leurs longueurs est égal au nombre d'or et le rectangle est d'or. Ce rectangle est harmonieux, son équilibre flatte l'oeil et statistiquement il a la préférence lorsqu'on le compare à d'autres rectangles de formes diverses. 

PLEIN ECRAN
.

La spirale du rectangle d'or

Cette spirale est une 'fausse' spirale parce qu'elle est constituée d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car la condition de tangence est respectée. Les centres des arcs sont à chaque fois situés sur la même droite perpendiculaire à cette tangente. Cette courbe est connue sous le nom de 'spirale logarithmique'. Elle s'enfonce sans fin et tend rapidement vers un point Z autour duquel elle s'enroule de plus en plus près. Ce point est appelé le centre de la spirale. Appelée spirale de Bernoulli, elle a de nombreuses propriétés. L'une d'elles est que le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour. Par contre l'angle que fait ce segment avec une direction de départ quelconque, croît en progression arithmétique.

SUITE
     

(1)ROBERT VINCENT Géométrie du nombre d'or éditions chalagam
L'art des batisseurs romans association des amis de l'abbaye de Boscodon
CLAUDE JACQUES WILLARD Le nombre d'or éditions Magnard
JEAN-PAUL DELAHAYE Pour la Science Août 1999
ORTOLI WITKOWSKI La baignoire d'Archimède Sciences
Le nombre d'or Que-sais je ?
LUCAS PACIOLI La divine proportion éditions Navarin
MATILA GHYKA Le nombre d'or éditions Gallimard
WARUSFEL Les nombres et leurs mystères éditions du Seuil
D. NEROMAN Le nombre d'or clé du monde vivant Dervy-livres, 6 rue de Savoie, Paris V