Les lapins de Fibonacci

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Voici le problème des lapins de Fibonacci qui fut proposé en 1202 :

Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois.

Au début ...

Un couple de bébés lapins.

Au bout de 1 mois.

Un couple de lapins adultes (qui feront des bébés le mois prochain...).

Au bout de 2 mois.

Un couple de lapins adultes et un couple de bébés donc 2 couples.

Au bout de 3 mois.

Deux couples de lapins adultes et un couple de bébés donc 3 couples.

Au bout de 4 mois.

Trois couples de lapins adultes et deux couples de bébés donc 5 couples.

Au bout de 5 mois.

Cinq couples de lapins adultes et trois couples de bébés donc 8 couples.

Finalement nous avons :
Au début 1 couple
Au bout de 1 mois 1 couple
Au bout de 2 mois 2 couples
Au bout de 3 mois 3 couples
Au bout de 4 mois 5 couples
Au bout de 5 mois 8 couples
Au bout de 6 mois 13 couples
Au bout de 7 mois 21 couples
Au bout de 8 mois 34 couples ...

Chaque mois, le nombre de lapins est la somme des nombres des 2 mois précédents :
- nombre de lapins existant (du mois précédent )
- nombre de bébés des lapins qui ont au moins deux mois.

La suite des nombres de lapins est appelée suite de Fibonacci.

Applications

Au bout de combien de mois aura-t-on 4181 lapins, puis 6765 lapins ? (2)

Leonardo monte un escalier. A chacun de ses pas, il franchit soit une, soit deux marches.
De combien de manières différentes peut-on monter un escalier de 6 marches ? (3)

Prenons un exemple réel, cette fois-ci : le coeur de certaines fleurs, les écailles d'un ananas ou d'une pomme de pin forment deux familles de spirales enroulées en sens inverse.
Sur une pomme de pin, vous compterez 5 spirales dans un sens et 8 dans l'autre, sur l'ananas, 8 et 13, sur la fleur de tournesol 21 et 34.
Chaque fois , nous obtenons des nombres de Fibonacci !
Pas de mystère : la croissance de ces fleurs ou de ces fruits obéit à un principe de construction rigoureux, et celui-ci est lié à la suite de Fibonacci.

(2) 18 mois puis 19 mois.
(3) Il y a trois façons de monter un escalier de trois marches. Pour 6 marches il y a 13 manières...
Pour un nombre quelconque de marches, on vient soit du niveau précédent, soit de deux niveaux en dessous.
Il faut donc additionner les nombres de manières de monter à chacun de ces niveaux, comme dans la suite de Fibonacci..