FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

Una aplicación muy importante de la división de polinomios es la factorización de polinomios, y en concreto conseguir factores del tipo (x-a)

Ejemplo: Si se realiza el producto (x-2)·(x+3) se obtiene el polinomio x2 + x - 6, por lo que puede expresarse dicho polinomio como producto de factores: x2 + x - 6 = (x-2 ) · (x+3)

Conseguir, cuando sea posible, expresar un polinomio como producto de binomios de primer grado, en principio del tipo del ejemplo, o al menos algún binomio de ese tipo, es lo que se denomina factorizar el polinomio.



Para conseguir factores del tipo mencionado (x - a), bastará encontrar valores de a para los que la división, que se efectúa por la regla de Ruffini, sea exacta, es decir, que el resto sea 0 y aplicar que: Dividendo = divisor · cociente + resto o D = d · c + r, con lo que quedaría D = d · c que en términos de polinomios con la variable x, se puede expresar: D(x) = d(x) · c(x) obteniéndose ya el polinomio dividendo descompuesto en dos factores.

Teniendo en cuenta el Teorema del Resto, estos valores de a son los ceros del polinomio dividendo. Por lo tanto, para obtener una factorización del polinomio D(x), en factores del tipo (x-a), sólo tenemos que encontrar los valores, a, que son raíces del polinomio D(x), así obtendríamos que D(x) = (x-a)·C(x), siendo C(x) el cociente de la división de D(x) entre (x-a). El proceso de factorización se continúa encontrando las raíces del polinomio C(x) y así sucesivamente.

TEOREMA: Los ceros enteros de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente.

Una vez hallado un cero, es necesario probrar de nuevo con él pues puede volver a ser raíz(se llamaría raíz múltiple)

Si el coeficiente principal no es la unidad, el polinomio puede tener ceros fraccionarios. Si a/b es un cero de un polinomio, a es divisor del término independiente y b es divisor del coeficiente principal.

Ejemplo: Dado el polinomio 2x3 + x2 - 5x + 2, utiliza la escena adjunta para encontrar valores de a para los que el valor numérico del polinomio sea 0.

Asigna a los coeficientes los valores adecuados.

Observarás que en todos los casos en los que el valor numérico sea 0, la división del polinomio por (x - a) es exacta (teorema del resto).

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Ficha 8