xeometría analítica
PROBLEMAS CON RECTAS EN PARAMÉTRICAS
 
1. PUNTOS DUNHA RECTA

r: 

Dando un valor numérico ao parámetro t, obteremos valores para x e y. Son as coordenadas de un punto de r.
Para comprobar se un punto P(x0,y0) pertence ou non a r, substituiremos  as súas coordenadas na x e na y da recta

O punto pertenecerá á recta sempre e cando se obteña o mesmo valor de t en ambas ecuacións.

Temos nesta escena a recta r:

1.- Calcula no teu caderno as coordenadas de puntos X de r, dando a t os seguintes valores: 
t = 0.5  
t = -1  
t = -2.3  
Comproba se os teus cálculos son correctos cambiando o valor de t nos botóns inferiores da escena. 

2.- Pertence o punto Q(-2, 4.5) a r? 
Para averigualo: 
-Substitúe x por -2 na ecuación de r e acha o valor de t .
-Substitúe y por 4.5 na ecuación de r e acha de novo t.

Se os dous valores de t coinciden, o punto Q pertence á recta.

3.- Compróbao na escena, ben movendo co rato o punto Q, ben introducindo os valores de Q.x = -2 e Q.y = 4.5 nos botóns inferiores. Na mesma escena verás os valores de t que calculaches e se o punto Q se coloca sobre a recta ou non. 

4.- Polo mesmo procedemento do apartado anterior, averigua se o punto Q(-6,8) pertence a r. 

5.- Canto ten que valer m, para que o punto Q(4,m) pertenza a r?.
2.  PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE DE RECTAS
Se (d1, d2) é un vector dirección de r, entón:
Calquera recta con vector dirección (d1, d2) ou proporcional a el, (kd1, kd2), k ¹ 0, é paralela a r ou coincide con r
Calquera recta con vector dirección (d2, -d1) ou proporcional a el, (kd2, -kd1), k¹ 0, é perpendicular a r
Nesta escena temos unha recta r  e un punto calquera P.
O punto coñecido de r é Q(a,c) e o seu vector dirección d(b,d).

Vemos tamén que están debuxadas unha recta paralela e outra perpendicular a r que pasan por P.

1.- Escribe no teu caderno as ecuacións dunha recta paralela e outra perpendicular a r , que pasen por  P (9,3) .

2.- Comproba o resultado na escena, cambiando o punto P, arrastrándoo co rato, e a recta r cambiando os valores de a, b, c e d, nos botóns inferiores.
3. POSICIÓNS RELATIVAS DE DÚAS RECTAS
Dadas as rectas 

r1:   

r2: 

 para achar a súa posición relativa, 
resolvemos o seguinte sistema de ecuacións con dúas incógnitas, t e s:
Igualamos a x e a y das dúas rectas utilizando parámetros distintos, t e s, para unha e outra.
Se o sistema ten solución única (t0,s0), as rectas córtanse nun punto, cuxas coordenadas obtéñense substituíndo, en r1, t por t0, ou ben, en r2, t por s0  .
Se o sistema non ten solución, as rectas son paralelas.
Se o sistema ten infinitas solucións, son a mesma recta.

As rectas que aparecen no inicio desta escena son: 

  y 
Nela poderemos cambiar os valores de a, b, c e d, que corresponden á recta r1, Isto é, o punto de r1 é (a,c)=(5,0) e o seu vector dirección é (b,d)=(-1,3)

1.- Iguala as x e as y das dúas ecuacións, chamándolle s ao parámetro de r2. Resolve o sistema resultante. Debe darche unha solución única de t e s. 

2.- Substitúe t en r1 ou s en r2 para achar o punto P de intersección das dúas rectas. A solución tela na escena. Compróbaa. 

3.- Nos botóns inferiores da escena  cambia o valor de b, pos b=2, e o de d, pos d= -3. Que cambiamos na recta r1?

 Lembra que podes teclear os novos valores e pulsar enter

4.- Como son agora r1 e r2? Resolve o sistema de novo como comprobación. 

5.- Agora pos a=1, b=-6, c=3 e d=9 Que pasou? Resolve o sistema agora. 

6.- Como sempre, podes cambiar os valores de a, b, c e d, como queiras e irás vendo o efecto na escena.

       
           
  Regina Puente Fernández (Adaptación: Ángela Núñez Castaín)


 
© Ministerio de Educación. Año 2010
 
 

Licencia de Creative Commons
Os contidos desta unidade didáctica están baixo unha licencia de Creative Commons se non se indica o contrario.