XEOMETRÍA ANALÍTICA
ECUACIÓNS DA RECTA
 
3. ECUACIóNS DA RECTA

Unha recta r queda determinada vectorialmente do seiguinte modo: 

  • Dando un punto P da recta, o que supón dar o vector OP =p, chamado vector de posición.

  • Dando un vector, d, paralelo á recta chamado vector dirección.

    • Se na escena adxunta imos cambiando o valor do parámetro t e observa os vectores de orixe O, p, p+d, p+2d, p-d, ... todos eles teñen o seu extremo sobre a recta r. 

    En xeral, p+td é un vector que, se se sitúa coa súa orixe en O, ten o seu extremo, X, sobre a recta r e se desliza sobre ela ao variar t.

    ECUACIÓN VECTORIAL DA RECTA
    Esta que se describiu é a ecuación vectorial da recta:
    OX = p +t.d
    O   é a orixe de coordenadas 
    X    é un punto calquiera variable da recta 
    p   é o vector posición dun punto P coñecido da recta 
    d   é un vector dirección coñecido, paralelo á recta 
    t   é un parámetro. Ao dar valores a t, obteremos os distintos puntos X da recta
    eCUACIÓNS PARAMÉTRICAS DA RECTA

    Se na ecuación vectorial se sustitúen os vectores polas súas coordenadas, queda así: 

    (x,y) = (p1,p2) + t (d1,d2)

    Expresando por separado cada coordenada obtéñense as ecuacións paramétricas:
    (x,y)   son as coordenadas dun punto calquiera descoñecido da recta 
    (p1,p2)   son as coordenadas dun punto coñecido da recta 
    (d1,d2)   son as coordenadas dun vector paralelo á recta 
    t  é un parámetro. Para cada valor que lle deamos a t obténse un punto (x,y) da recta.
    eCUACIÓN XERAL OU IMPLÍCITA DA RECTA

    Se nas ecuacións paramétricas eliminamos o parámetro (por exemplo, despexando t nunha delas e substituíndo o seu valor na outra), obténse unha única ecuación do tipo:

    Ax + By + C = 0

    chamada ecuación xeral ou implícita da recta
    EXEMPLO
    Imos achar as distintas ecuacións da recta r representada nesta escena.

    Tomamos: 

    • o vector de posición dun punto calquera de r 
      p(3,6)

    • un vector calquera, paralelo a r  
      d(3,2)

    ECUACIÓN VECTORIAL

    OX = p +t.d
    Nesta escena se vas cambiando o valor do parámetro t, irás vendo os distintos puntos X da recta r, e as súas coordenadas deducidas das ecuacións paramétricas.

    ECUACIÓNS PARAMÉTRICAS

    Para despexar a t, multiplicamos a primeira ecuación por 2, a segunda por -3 e sumamos:  
    2x-3y=-12

    ECUACIÓN XERAL

    2x-3y+12=0
    Achar as ecuacións paramétricas e a implícita da recta que pasa polos puntos A(5,-1) e B(1,4)

    Tal como dixemos antes, para ter definida unha recta vectorialmente, necesitamos ter un punto da mesma e un vector da mesma dirección. 

    Punto: calquera dos dous dados, A ou B 

    Vector dirección: o que une os dous puntos dados AB 

    1.- Agora escribe no teu caderno as ecuacións paramétricas da recta que pasa polos puntos A(5,-1) e B(1,4).

    2.- Elimina a t entre as dúas ecuacións paramétricas e calcula a ecuación implícita.

    3.-Dale a t tres valores distintos, substitúeos nas ecuacións paramétricas, calcula as coordenadas dos puntos de r en cada caso, e comprueba na escena que son puntos da recta cambiando o valor de t.

    Se queres ver algún punto que sae da escena, podes cambiar a escala ou a posición dos eixes nos botóns superiores da mesma

    4.- Move o punto B, cambiando o valor de t, e repite os apartados 1 e 2 para o novo punto B. 

    Poderás comprobar que a ecuación implícita que resulta é a mesma, e que os puntos que se obteñen das paramétricas, son os mesmos que antes.

    Obter as ecuacións paramétricas da recta: 3x - 4y = 10 

    1.- Empeza calculando dous puntos da recta. 

    Primeiro punto: substituíndo na ecuación implícita dada o valor y=-1, obtes o valor de x correspondente a ese punto da recta. 

    Segundo punto: substituíndo y=2, obtes outro valor de x do outro punto 

    Move o punto P na escena para comprobar os dous puntos.  

    2.- Coñecendo dous puntos o exercicio é similar ao anterior. Escribe no teu caderno as ecuacións paramétricas.

    3.- Dalle tres valores a t, en ditas ecuacións, e comproba na escena que son puntos da recta representada.

           
               
      Regina Puente Fernández (Adaptación: Ángela Núñez Castaín)
     
    © Ministerio de Educación. Año 2010
     
     

    Licencia de Creative Commons
    Os contidos desta unidade didáctica están baixo unha licencia de Creative Commons se non se indica o contrario.