Se resolverán los siguientes problemas de forma organizada siguiendo las cuatro fases o pasos y utilizando sistemas de ecuaciones.
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO SISTEMAS DE ECUACIONES |
| Álgebra | |
Se resolverán los siguientes problemas de forma organizada siguiendo las cuatro fases o pasos y utilizando sistemas de ecuaciones. | |
| Problema 1 La suma de dos números es 24, y el doble del primero menos el segundo es 6. ¿Cuáles son estos números? |
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| Fase 1: | En primer lugar identificamos los números que queremos encontrar, es decir las incógnitas, x es un número e y es el otro número |
| Fase 2: | Las ecuaciones que se plantean son: x+y = 24 2x-y=6 |
| Fase 3: | se resuelve por cualquiera de los métodos que se conoce en este caso se utiliza sustitución como y= 2x-6 entonces: x+2x-6= 24;3x= 30; x= 10 y=2·10-6=14; los dos números que nos piden son : x=10 e y= 14 |
| Fase 4: | Se comprueba: 10+14 = 24; 24=24 2·10-14=6;6=6 |
| Problema 2 Tenemos un total de 26 monedas, algunas de 5 céntimos y otras de 20 céntimos. En total tenemos 2,65 euros (265 céntimos). Cuántas monedas tenemos de cada clase? |
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| Fase 1: | En primer lugar definimos las incógnitas: x es el número de monedas de 5 céntimos, y es el número de monedas de 20 céntimos. |
| Fase 2: | Se puede resolver planteando 1 sistema de ecuaciones lineal x+y= 26 5x+20y =265 |
| Fase 3: | Se
resuelve, aplicando por ejemplo el método de sustitución entonces se
despeja x= 26-y de la primera ecuación y se sustituye en la
segunda de forma que se obtiene: 5·(26-y)+20y=265 130-5y+20y=265 15y=135 y=135/15=9; sustituyo de nuevo x=26-9=17, así pues se obtienen 17 monedas de 5 céntimos y 9 monedas de 20 céntimos. |
| Fase 4: | Efectivamente 17+9= 26; 26=26 5·17+20·9 =265; 85+180=265; 265=265 |
| Problema 3 Calcula las edades de dos hermanos, sabiendo que la edad de uno es el triple que la del otro, y que de aquí a 5 años la suma de las dos edades será el triple de la edad actual del más grande. |
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| Fase 1: | Es interesante hacer una tabla que ayude a su resolución
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| Fase 2: | Se
tiene en cuenta que en primer lugar se cumple que la edad de uno es el
triple de la del otro, es decir x=3y y por otro lado después de 5 años
se tiene que (x+5)+(y+5)=3x (ya que es el triple de la edad más grande) El sistema queda: x=3y (x+5)+(y+5)=3x |
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| Fase 3: | Aplicando el método de sustitución se tiene que (3y+5)+(y+5)=3(3y); 3y+5+y+5=9y; -5y=-10; y=10/5=2, se sustituye x=3·2=6 así pues uno tiene 2 años y el otro 6 años |
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| Fase 4: | Se comprueba que: 6=2·3; 6=6 (6+5)+(2+5)=3·6; 11+7=18; 18=18 |
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| Problema 4 de Un hombre compra caballos y vacas; cada caballo cuesta 310 euros y cada vaca cuesta 200 euros. Las vacas cuestan en total 70 euros más que los caballos. Calcula cuántos caballos y cuántas vacas ha comprado si en total ha comprado 8 animales |
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| Fase 1: | En primer lugar se definen las incógnitas. Sea x el número de caballos, y el número de vacas |
| Fase 2: | se plantea un sistema de ecuaciones ya que se tienen dos incógnitas: la primera ecuación será x+y=8 que es el total de animales. La segunda ecuación es 310x+70=200y |
| Fase 3: | El sistema a resolver: x+y=8 10x+70=200y Se aplica cualquier método de resulución de sistemas de ecuaciones que se ha visto (sustitución, igualación o reducción) y la solución es: x= 3 que el número de caballos que compra el hombre e y= 5 que es el número de vacas que compra el hombre. |
| Fase 4: | Para comprobar se sustituye en el sistema inicial las soluciones: 3+5=8; 8=8 310·3+70=200·5 ; 930+70=1000;1000=1000 |
| Problema 5 Calcula cuánto vale la altura de una casa y un poste de luz si se sabe que a la altura de la casa le faltan 3 metros para ser el doble de la del poste de luz, y que la casa es 10 metros más alta que el poste de luz. |
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| Fase 1: | Sea x la altura de la casa, y la altura del poste de luz |
| Fase 2: | Se plantean las siguiente ecuaciones : en primer lugar x= 2y-3 es decir son los 3 metros que le faltan a la casa para ser el doble del poste. La segunda ecuación será x=10+y ya que la casa es 10 metros más alta que el poste de luz. |
| Fase 3: | x=2y-3 x=10+y Puesto que se puede elegir cualquier método para resolver el sistema en este caso interesa igualación ya que la incógnita esta despejada, 2y-3=10+y 2y-y=10+3 y=13 , se sustituye en cualquiera de las ecuaciones iniciales x=2·13-3=23 Por tanto la casa tiene 23 metros de altura y el poste de luz 13 metros de altura. |
| Fase 4: | Para comprobar que los datos son correctos se sustituye en el sistema 23=2·13-3;23=26-3; 26=26 23=10+13;23=23 |
| Problema 6 Encuentra cuales son los dos números pares consecutivos tales que la diferéncia entre la mitad del pequeño y la tercera parte del grande es igual a la octava parte del grande |
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| Fase 1: | Sea x uno de los números (+ pequeño) e y el otro número (+ grande) |
| Fase 2: | La primera ecuación será y=x+2 ya que son pares consecutivos, la segunda ecuación es x/2-y/3=y/8 |
| Fase 3: | y=x+2 x/2-y/3=y/8;12x-8y=3y; 12x-11y=0 sustitución 12x-11(x+2)=0; 12x-11x-22=0; x=22 es el número más pequeño y el par consecutivo es 24 |
| Fase 4: | 24=22+2;24=24 22/2-24/3=24/8; 12-8=3;3=3 |
| Problema 7 Hallar dos números tales que su suma sea 90, y su cociente 9 |
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| Fase 1: | Sea x uno de los números e y el otro |
| Fase 2: | Las ecuaciones que se plantean son: x+y=90 x/y=9 |
| Fase 3: | De la segunda ecuación x=9y, se sustituye en la primera 9y+y=90 entoncés 10y=90, y=90/10=9 Se sustituye en x=9·9=81. Los número pedidos son el 9 y el 81 |
| Fase 4: | Se comprueba: 9+81=90;90=90 81/9=9;90=90 |
| Problema 8 Encontrar un número de dos cifras sabiendo que la suma es 10 y el doble del número que resulta al invertir sus cifras supera en una unidad al número. |
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| Fase 1: | En primer lugar recordar que un número se puede escribir como: 342=3·100+4·10+2, así pues sea x la primera cifra del número e y la segunda, por tanto el número buscado es xy , se sabe que xy=x·10+y |
| Fase 2: | Las ecuaciones que se plantean son: x+y=10 (la suma de sus cifras es 10) 2(10y+x)=10x+y+1 (sus cifras invertidas será 10y + x) |
| Fase 3: | Una forma de resolverlo es utilizando el sistema de sustitución, despejando x=10-y y sustituyendo en la segunda ecuación 2(10y+(10-y))=10·(10-y)+y+12; 20y+20-2y=100-10y+y+12; 18y+9y=81; 27y=81; y=81/27=3 se sustituye en la primera ecuación x=10-3=7, Así pues el número buscado es el 73 |
| Fase 4: | Se comprueba: 7+3=10; 10=10 2(10·3+7)=10·7+3+1; 2(30+7)=70+3+1; 74=74 |
| Problema 9 En una verdulería se han vendido 2kg de naranjas y 5 kg de patatas por 8,35 euros y 4kg de naranjas y 2kg de patatas por 12,85 euros. Calcula el precio de los kg de naranjas y de patatas. (sol. naranjas a 1,25 euros/kg y las patatas 1,5 euros/kg) |
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| Problema 10 Se sabe que mi tio tiene 27 años más que su hijo y que de aquí a 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?(sol. 42 y 15 años respectivamente) |
| COMPRUEBA LA SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS UTILIZANDO LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS (MÉTODO GRÁFICO) | |||
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Consiste en representar las dos rectas obtenidas en el eje cartesiano, para ello las ponemos en la forma de a1*x+b1*y=c1 y la otra recta será a2*x+b2*y=c2.Recordar que un sistema tiene solución si es comptible y no tiene solución si es incompatible (las dos rectas son paralelas) |
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| 2.- Repite el proceso para comprobar la solución de todos los problemas resueltos y no resueltos. | |||
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| Isabel Pons Tamarit | ||
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autores applet: José Luis Abreu y Marta Oliveró | |
| © Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2009 | ||