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ECUACIONES LINEALES EQUIVALENTES |
| Álgebra | |
| 1. ECUACIONES EQUIVALENTES | ||
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Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. En el caso de las ecuaciones lineales con dos incógnitas, las soluciones son los puntos de su recta asociada, por lo tanto dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son equivalentes si se representan con la misma recta. |
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1.- Busca ecuaciones que sean equivalentes pero no idénticas, es decir que la recta naranja y la blanca se superpongan sin que sean iguales los coeficientes. 2.- Intenta encontrar un método fácil para resolver la actividad anterior. 3.- Escribe en el cuaderno cómo son los coeficientes de las ecuaciones equivalentes. ¿Y y si uno o más coeficientes son nulos? |
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| 2. DETERMINACIÓN DE ECUACIONES EQUIVALENTES | |
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Hay infinitas ecuaciones equivalentes a una dada, todas ellas tienen sus coeficientes proporcionales: a/a' = b/b' = c/c' (si a', b' y c' son distintos de 0) si algún coeficiente es cero también será nulo el que le corresponde en todas sus ecuaciones equivalentes. |
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4.- Observa que las ecuaciones equivalentes tienen sus coeficientes proporcionales. 5.- Analiza las ecuaciones equivalentes en los siguientes casos: a) Cuando la recta es horizontal. b) Cuando la recta es vertical. c) Cuando la recta pasa por el origen de coordenadas. d) Cuando es horizontal o vertical y además pasa por el origen de coordenadas. |
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| 3. ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS CON COEFICIENTES PROPORCIONALES | |||
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La condición necesaria y suficiente para que dos ecuaciones lineales: a1 x+b1 y=c1 y a2 x+b2 y=c2 sean equivalentes es que sus coeficientes sean proporcionales, es decir que: a2=m.a1; b2=m.b1; c2=m.c1 (para algún m distinto de 0). |
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6.- Comprueba el teorema anterior utilizando las ecuaciones y las rectas y explica en el cuaderno cómo lo haces en cada uno de los casos: a) Comprueba que la condición es necesaria, es decir, si las ecuciones son equivalentes (representan la misma recta), entonces sus coeficientes son proporcionales. b) Comprueba que la condición es suficiente, es decir, que si dos ecuaciones tienen sus coeficientes proporcionales, entonces son equivalentes (representan la misma recta). |
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| Se concluye que dos o más sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. |
EJEMPLO
La solución se ve como es: x=1 e y=2 ya que si comprobamos: 1)1+ 2 = 3; 3=3
2)1 -2 ·2
= -3; -3=-3 |
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Se obtendrá un sistema equivalente si se realiza la misma
operación aritmética en los dos miembros de una
ecuación del sistema: a)Si se suma o resta la misma expresión algebraica, o el mismo número, a los miembros de una ecuación de un sistema, se obtiene otro sistema equivalente al dado. b)Si se multiplican o dividen por un mismo número (distinto de cero), los dos miembros de una de las ecuaciones de un sistema, se obtiene un sistema equivalente. c)Si se suma o resta a una ecuación de un sistema la otra ecuación multiplicada o dividida por un número (distinto de cero), se obtiene un sistema equivalente. | Se observan los siguientes resultados: a)Si se resta 5 a los dos miembros de la primera ecuación, el nuevo sistema sigue teniendo como solución x=1 e y=2 1) x+y -5 =3-5 2) x-2y=-3 (termina el ejercicio, es decir comprueba si tiene la misma solución) b)Si multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por 3, se obtiene un nuevo sistema con la misma solución. 1) (x+y)· 3 =3·3 2) x-2y=-3 (termina el ejercicio, es decir comprueba si tiene la misma solución) c) Si se sustituye la segunda ecuación por la suma de las dos ecuaciones del sistema inicial, el nuevo sistema sigue teniendo la misma solución. 1) x+y =3 2) 2x-y=0 (termina el ejercicio, es decir comprueba si tiene la misma solución) conclusión: en los casos a), b) y c) se obtienen sistemas equivalentes. | ||
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| Juan Madrigal Muga (adaptada por Isabel Pons Tamarit) | ||
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| © Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001 | ||
