Arquímedes nunca escribió unas justificaciones matemáticas para su principio. Hoy la física lo expone así:

Las caras superior e inferior del cuerpo están sumergidas a distinta profundidad, h₀ y (h₀+h) y están sometidas a distintas presiones hidrostáticas p₁ y p₂ (p₂> p₁). Ambas caras tienen la misma superficie, S, pero están sometidas a distintas fuerzas F₁ y F₂ (F₂> F1).
---------F₁ = p₁· S = df· g· h₀· S
---------F₂ = p₂· S = df· g· (h₀+h)· S

La densidad del fluido es df. Las fuerzas laterales se anulan en cada plano horizontal. Como F₂> F₁ la resultante E estará dirigida hacia arriba.
---E = F₂ - F₁ = df· g· (h₀+h)· S - df· g· h₀· S =

---- df· g· S·(h₀+ h-h₀) = df· g· S· h = df· g· Vc

V_c es el volumen del cuerpo (V_c = S·h). Si el cuerpo está completamente sumergido, desplazará un volumen de fluido igual a V_c, así que V_c = V_fluido;

-E = df· g· (V_{fluido desplazado}); Por ser m = df · V

-E = df· g· (V_{fluido desplazado}) = m_desaljada· g