EXPERIMENTACIÓN EN EL AULA.

Representación de funciones elementales y su relación con los movimientos en el plano.

SITUACIÓN INICIAL

El IES Zurbarán es un instituto dependiente de la Consejería de Educación de la Junta de Extremadura. Se trata de un centro bien dotado de recursos educativos relacionados con las TICs, además de, como todos los centros dependientes de esta Consejería, disponer de un ordenador por cada dos alumnos en todas las aulas, por lo que la experimentación en el aula de este proyecto se ha desarrollado sin mayores dificultades.

El grupo elegido para la experimentación consta de 25 alumnos que cursan Matemáticas B en 4º ESO. Se trata de un grupo que presenta, en general, un alto rendimiento académico así como una elevada dosis de motivación hacia el aprendizaje de esta área

Los objetivos que se esperan conseguir con el desarrollo de esta actividad son los siguientes:

• Conocer las funciones elementales mediante su expresión analítica.

• Valorar la importancia de la representación gráfica de la función base para cada una de las familias de funciones elementales.

• Representar gráficamente cualquier función elemental (excepto las trigonométricas) a partir de la función base.

• Identificar las transformaciones en el plano que están incluidas en el proceso anterior.

• Introducir el concepto de función inversa de una función dada y la relación geométrica entre las gráficas de ambas.

Los contenidos que se desarrollan son los siguientes:

• Identificación de los diferentes movimientos del plano (especialmente traslaciones y simetrías)

• Representación gráfica de una función elemental (excepto las trigonométricas).

• Descripción de los elementos característicos de una función a partir de su gráfica: dominio, monotonía, extremos, simetría...

• Relación entre las transformaciones del plano y la representación gráfica de una función a partir de su función base, así como de la identificación de las funciones en las que el proceso anterior se reduce a únicamente movimientos del plano.

• Obtención de la gráfica de una función a partir de la gráfica de su función inversa.

• Introducción del concepto de logaritmo de un número a partir del lenguaje funcional.

Los materiales que se emplean son:

• Cuaderno del alumno. Se les entrega además un boletín de recogida de los ejercicios realizados durante la actividad para su posterior corrección.

• Unidad didáctica realizada con el nippe Descartes.

• Aula del grupo de 3º ESO, dotada con 1 ordenador para cada pareja de alumnos con sistema operativo LINEX, y un ordenador para el profesor.

El tiempo destinado a la experimentación es de 8 clases de 55 minutos cada una.

DESARROLLO

He aquí, de manera sintetizada, la descripción temporalizada de la experimentación:

• Primer día: recordatorio al alumnado de los movimientos del plano, poniendo especial énfasis en las traslaciones y las simetrías. Se les propone un boletín de ejercicios en los que deben describir qué movimientos del plano tienen lugar para pasar de una configuración geométrica inicial a otra final.

• Segundo día: recordatorio teórico del concepto de función afín. Introducción del concepto clave para el desarrollo de esta unidad: función base. Finalmente, se echa mano de la herramienta Descartes para visualizar y describir geométricamente la relación gráfica entre la familia de las funciones afines y su función base y = x. Se realizan las actividades propuestas en la escena.

• Tercer día: recordatorio teórico del concepto de función cuadrática y de sus elementos más característicos: eje de simetría y vértice. Se pasa a la aplicación Descartes para reforzar estos contenidos, y sobre todo, para introducir y describir geométricamente las relaciones gráficas que se establecen entre cualquier función cuadrática y la función base y = x^2. Se realizan las actividades propuestas en la escena.

• Cuarto día: se retoma la unidad en Descartes para introducir el concepto de función radical. Se incide en la importancia de determinar el dominio para poder realizar la representación gráfica de este tipo de funciones. Se estudia la relación geométrica entre las diferentes gráficas y se realizan las actividades propuestas.

• Quinto día: se repite la misma mecánica del día anterior pero con las funciones de proporcionalidad inversa, llamando en este caso la atención sobre la relevancia del concepto de asíntota en el estudio de la representación gráfica de estas funciones.

• Sexto día: ídem, pero con las funciones exponenciales (una vez más el concepto de asíntota es aquí relevante).

• Séptimo día: a través de los contenidos teóricos contenidos en la aplicación Descartes se define el concepto de logaritmo de un número, y se proponen ejercicios para el cálculo de algunos logaritmos sencillos. Finalmente, se introduce el concepto de función inversa y se incide en la relación geométrica existente entre la gráfica de una función y su inversa, para a partir de aquí deducir la gráfica de la función logaritmo.

• Octavo día: se reincide en el concepto de función inversa, y se revisa la relación inversa existente entre algunas de las funciones ya estudiadas. Para finalizar, se representan algunas funciones de la familia logarítmica a partir de su función base, y se realizan las actividades propuestas.

RESULTADOS DE LA ENCUESTA. VALORACIÓN DE LOS ALUMNOS.

Tras finalizar las actividades se propone a los alumnos la encuesta indicada. Las respuestas se incluyen a continuación:

Encuesta cerrada

Encuesta abierta

1. Indica qué es lo que más te ha gustado de esta experiencia:

• Trabajar con el ordenador: 36%
• Trabajo en equipo: 16%
• Relacionar las gráficas con los movimientos del plano: 40%
• Otras: 8%

2. Indica qué es lo que menos te ha gustado de esta experiencia:

• Falta de tiempo: 20%
• La dificultad de las actividades: 32%
• No hay nada que no me haya gustado: 40%
• Otras: 8%

3. Indica qué cambiarías:

• Menos explicaciones en la aplicación: 20%
• La dificultad de algunos ejercicios: 20%
• No cambiaría nada: 60%

RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DEL GRUPO

En el momento en el que se redacta el informe de experimentación de la unidad didáctica no se ha realizado todavía ninguna prueba que permita realizar la evaluación sobre la adquisición de contenidos por parte de los alumnos. Sin embargo, a raíz de la observación directa del trabajo en el aula, se espera que los resultados sean, en general, positivos.

VALORACIÓN FINAL

El carácter novedoso de esta unidad, en relación a cómo es tratada normalmente en los libros de texto, ha sido la principal barrera con la que me he encontrado a la hora de abordar esta experimentación en el aula; es por ello por lo que decidí prescindir del libro de texto para el desarrollo de la misma. Sin duda, una vez salvadas las primeras dificultades de este enfoque, como por ejemplo identificar como influyen los diferentes parámetros de una función en su forma gráfica, el alumnado se muestra receptivo ante esta forma de aprendizaje por su economía de conocimientos. Así, el hecho de tener que conocer tan solo la gráfica de la función base y las transformaciones del plano (fundamentalmente movimientos) para poder realizar la representación gráfica de una amplia gama de funciones les resulta muy alentador. Finalmente decir que soy consciente de que esta unidad es susceptible de admitir múltiples mejoras, pero quizás la más interesante hubiese sido la de haber hecho un estudio paralelo de cómo afecta las modificaciones de los parámetros de una familia de funciones no sólo a su representación gráfica sino también a su correspondiente tabla de valores; así por ejemplo para representar la función cuadrática y = 2.(x-3)^2 - 5, complementaba la visualización de su gráfica a partir de la función base en la aplicación Descartes con una explicación en la pizarra sobre cómo evolucionaban las diferentes tablas de valores de las funciones involucradas en este proceso (en cursiva las coordenadas del vértice):

x y -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4	x y -2 8 -1 2 0 0 1 2 2 8	x y 1 8 2 2 3 0 4 2 5 8	x y 1 3 2 -3 3 -5 4 -3 5 3