FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

 

ficha del profesor
ENUNCIADO

 

Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas. Por ejemplo,

 

 

es una función definida a trozos, en cada “trozo” de su dominio tiene una definición.

 

Para valores de la variable menores o iguales que −2 la función está definida como x2 + x − 4 ; si la variable está entre −2 y 3 la función es x + 1 y entre 3 y 10 es igual a 2.5.

 

Observa, además, que su dominio de definición es (-∞, 10), porque no está definida para valores mayores o iguales que 10.

 

Su gráfica se compone de varios tramos o trozos.

 

 

El trazado “manual” habría que hacerlo a partir de tablas para cada uno de los tramos, representando los puntos y uniéndolos con el criterio adecuado (segmentos rectilíneos o curvos) en los intervalos correspondientes.

 

En este tipo de funciones tiene especial interés el estudio de su continuidad, su crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos.

 

 

QUÉ HACER

 

En la primera escena puedes ver la gráfica de la función definida según la fórmula

 

 

con valores iniciales de los deslizadores a = -0.5, b = 1, c = -1, es decir, la gráfica que se ve es:

 

 

La primera parte de la actividad consiste en el estudio de las propiedades fundamentales de esta función en lo referido a su dominio, continuidad, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos.

 

Después analizarás cuáles han de ser los valores de los parámetros para que la función sea continua.

 

En la segunda parte de la actividad resolvererás ejercicios de este mismo tipo en los que tú tendrás que dibujar la gráfica.

 

PREGUNTAS

Ficha del alumno pdf

Funciones definidas a trozos. Escena 1

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Puedes ver en la pantalla la definición de cada tramo de la función: el primer segmento corresponde a un tramo de la recta ax + b, el tramo curvo es una parte de la parábola -x2 + 2x y el último segmento es de la función cosntante c.

 

Partimos de valores a = -0.5, b = 1, c = -1.

 

1.- ¿Cuál es el dominio de definición de f(x)?

2.- ¿En qué puntos la función no es continua?

3.- ¿En qué intervalos la función es creciente? ¿En cuáles es decreciente?

4.- ¿Hay extremos relativos (máximos o mínimos)? ¿Dónde se encuentran? ¿Hay máximo / mínimo absoluto?

5.- Con a = -0.5 mueve b y c de manera que la función sea continua. ¿Para qué valores de b y c se cumple que f(x) es continua en todo su dominio?

6.- Escribe la definción de la función para los valores de a, b y c que hacen que la función sea continua.

7.- Con a = 1, ¿cuáles son los valores de b y c que hacen que f(x) sea continua?

  

Funciones definidas a trozos. Escena 2

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Haz doble clic sobre la segunda escena para abrir GeoGebra.

1.- Dibuja la gráfica de la función

 

 

Para dibujar la gráfica de una función en un intervalo se utiliza el comando Función[ ] escribiendo dentro de los corchetes la fórmula de la misma, el origen y el extremo del intervalo separados por comas. En realidad lo que vas a hacer es dibujar la gráfica de tres funciones, una por cada intervalo.

 

a)      Escribe en el Campo de Entrada Función[4,-8,-4] y acepta la entrada.

b)      De manera análoga dibuja x+2 entre -4 y -1, tecleando Función[x+2,-4, -1] y después, con el mismo comando, –2x – 1 entre –1 y 3.

Si no se ve la gráfica completa puedes utilizar el zoom.

c)      Cambia el color y el grosor del trazado de la gráfica.

d)   Guarda la construcción con el nombre atrozos.

e)     ¿Cuál es el dominio de definición de la gráfica?

f)      ¿Hay algún punto donde la función no sea continua? En caso afirmativo indicar cuál.

g)       ¿Es continua la función en x = -4?

h)      ¿Cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento?

i)      ¿Cuáles son extremos relativos (máximos / mínimos)?

j)        ¿Hay máximos / mínimos absolutos? ¿Dónde se encuentran?