Proporcionalidad.

Álgebra

La proporcionalidad directa.

1. El otro día acompañé a mi padre a comprar 2 kilos de naranjas en la frutería de la esquina. Le costaron 1 €. En los dos kilos entraron 12 naranjas. Mi madre me ha pedido hoy que vaya a la frutería a comprar más naranjas, pues ya se han terminado las que compramos el otro día. Pero quiere que compre 5 kilos de naranjas. ¿Cuánto me constarán?

Para resolverlo utiliza la escena siguiente.

En ella están representados en el eje horizontal los kilos de naranjas y en el eje vertical, su precio.
Asigna a la variable kilos el valor 5 y observa el resultado. De la misma manera calcula también el precio de 1, 2, 3, 4, 6, 7 y 10 kilos de naranjas.

Dibuja una tabla en tu cuaderno de trabajo similar a la que aparece más abajo y anota en ella los resultados.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Habrás observado ya que existe una relación muy estrecha entre el peso de las naranjas y su precio: dos kilos de naranjas cuestan 1 €. El doble de naranjas cuestan el doble, 2 €, el triple de naranjas cuestan el triple, 3 €, un kilo, cuesta la mitad, 0,5 €. Y así sucesivamente. Diremos que esas dos magnitudes, los kilos de naranjas y su precio son proporcionales. Fíjate que el cociente entre el precio de las naranjas y su peso es siempre constante, igual a 0,5.

Una igualdad entre dos fracciones se llama proporción.

El cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad o razón de la proporción.

2. ¿Cuántas naranjas me darán en total? ¿El número de naranjas y su peso son magnitudes proporcionales?

Rellena la siguiente tabla y compruébalo en la escena.

Escribe en tu cuaderno la razón de la proporción.

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La gráfica de la función que relaciona dos magnitudes proporcionales siempre es una recta que pasa por el origen.

Hay muchas magnitudes en la vida real que son proporcionales y otras muchas que no lo son. A continuación aparecen varias relaciones entre magnitudes. Piensa cuáles son proporcionales y cuáles no

1. El peso de un saco de patatas y su precio.

2. El número de páginas de un libro y su precio.

3. El número de páginas de un libro y el tiempo que se tarda en leerlo.

4. El volumen del agua y su peso.

5. La longitud de la circunferencia y su radio.

6. El perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado.

7. El área de un cuadrado y la longitud de su lado.

8. El peso de un bebé y su edad.

Propiedad fundamental de las proporciones.

En la proporción

los números 100 y 3 se llaman extremos de la proporción mientras que los números 150 y 2 se llaman medios. Observa que el producto de los medios   (150 · 2 = 300) es igual al producto de los extremos (100 · 3 = 300). Esta propiedad se cumple en cualquier proporción, es decir,

En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Comprueba la propiedad anterior en los resultados de las proporciones de los dos ejercicios anteriores.

La regla de tres directa.

3. Un coche tarda 4 horas en recorrer 360 km. Si mantiene esa velocidad, ¿cuánto recorrerá en 5 horas?

Si la velocidad del coche es constante, es fácil deducir que la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla son magnitudes proporcionales. Gracias a ello las fracciones obtenidas dividiendo el espacio recorrido y el tiempo que ha tardado (o al revés, el tiempo dividido entre el espacio)  son equivalentes y podemos aplicar la propiedad anterior de las proporciones. Es decir,

360 / 4 = x / 5

siendo x la distancia que recorre en 5 horas.

Observa en la escena siguiente el resultado obtenido.

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4. Si el AVE tarda 2 horas en llegar desde Madrid a Córdoba, que distan 400 kilómetros, cuánto recorrerá en 3 horas?

Exactamente el mismo procedimiento debes aplicar en cualquier problema similar. Si en una proporción conoces 3 valores, es fácil calcular el cuatro.

Practícalo para resolver los siguientes problemas.

Comprueba tus resultados en la escena siguiente asignándole los correspondientes valores a las variables a, b y c..

5. Si una persona recorre 20 km. en 40 minutos en bicicleta, ¿cuánto recorrerá en 1 hora (60 minutos)?

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6. Si una botella de gaseosa cuesta 0,45 €, ¿cuánto cuesta una caja que contiene 12 botellas?

7. Si un día tiene 24 horas, ¿cuántas horas hay en una semana?

8. Un paquete de 5 chicles cuesta 0,75 €. ¿Cuánto cuestan 3 paquetes? ¿Cuántos paquetes te puedes comprar con 3 €?

9. Si un euro vale 166,386 pesetas, ¿cuánto valen 5 euros? ¿Y cuántos euros nos darán con 1000 pesetas?

Proporcionalidad inversa.

Hay magnitudes que están relacionadas de tal forma que al aumentar una de ellas, la otra disminuye. Por ejemplo, si viajamos en coche, cuanto mayor sea su velocidad, menor es el tiempo que tardamos en hacer un recorrido determinado.

Pero esta relación entre ambas magnitudes también es muy especial, si la velocidad del vehículo aumenta el doble, el tiempo que tarda disminuye a la mitad, si aumenta el triple, el tiempo disminuye a la tercera parte.

Cuando se cumple esta relación, diremos que las dos magnitudes son   inversamente proporcionales.

10. En el colegio se quiere organizar una excursión en primavera. Se contrata un autobós con conductor que dispone de 80 plazas y cuesta 360 €. Si se llena el autobós, ¿cuánto debe pagar cada alumno? ¿Y si sólo se cubren la mitad de las plazas?

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En la escena siguiente, asígnale a la variable cubiertas distintos valores y observa el resultado. Escribe los resultados en la tabla siguiente.

La regla de tres inversa.

Es fácil deducir que si se cubren todas las plazas, cada alumno debe pagar 360/80 = 4,50 €. Si sólo se ocupan 40 plazas, hacemos el siguiente razonamiento

Si a 80 plazas le corresponden 4,50 € por plaza

a 40 plazas le corresponderán x €.

Ahora, al ser una relación de proporcionalidad inversa, hay que invertir la segunda razón, es decir:

Haciendo operaciones, deducimos que x= (4,50 * 80) / 40 = 9 €.

Utiliza el procedimiento de la regla de tres inversa para comprobar la corrección de los valores de la tabla anterior.

Utilízalo igualmente para resolver los siguientes problemas:

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11. Cuando se llevaba la mitad del escrutinio de las quinielas del domingo, la radio informó que habían aparecido 6 acertantes de 15 resultados que cobrarían 108.000 € cada uno. Al terminar el escrutinio, los acertantes fueron 9. ¿Cuánto cobrará entonces cada uno de ellos?

12. Un albañil tarda 5 días en levantar una pared de 84 m². ¿Cuánto tardarán 3 albañiles trabajando al mismo ritmo que el primero?

Autor: Fernando Arias Fernández-Pérez

Adaptado por: Juan Bautista Sánchez López

© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2010