EXPERIMENTACIÓN CON DESCARTES EN EL AULA

Definición geométrica del determinante de orden 3
Orientación en IR³
Una base (u, v, w) de R3 (tres vectores que determinan un paralelepípedo) tiene una orientación positiva o negativa, buena o mala orientación se suele decir también. Al estar en dimensión 3, podemos ver la base (u, v) del plano con orientación positiva, (ahora se puede ver la otra cara del plano), pues bien, si viendo el plano con esta orientación resulta que w indica altura, diremos que la base (u, v, w) está bien orientada; si por el contrario w indica bajura, diremos que dicha base está mal orientada.
Ejemplos:

Así pues una base bien orientada se puede ver como (Este, Norte o NE o NO, Altura).
Al igual que en dimensión 2, el concepto de orientación también se puede definir con el sentido del ángulo entre vectores:
Se dice que una base (u, v, w) tiene orientación positiva si al girar un tornillo, con la dirección de w, en el sentido rotatorio de u a v, este avanza en el sentido de w; cuando el tornillo avance en sentido contrario a w, se dirá que la orientación de la base es negativa.
Ejemplos:

Obsérvese que al trasponer dos vectores de una base, la orientación cambia de signo:

Determinante de orden 3 = Volumen orientado

Diremos que el volumen del paralelepípedo determinado por 3 vectores (u, v, w) es positivo o negativo según sea la orientación de la base (u, v, w): 

Este concepto coincide con la definición de volumen = área de la base · altura, cuando estas se toman orientadas.

Definición: 

El determinante de tres vectores en IR³ (u, v, w) es el volumen orientado del paralelepípedo que determinan, designaremos este volumen por det(u, v, w). Si uno de los vectores u, v, w, es combinación lineal de los otros, es decir, si
los tres vectores están en el mismo plano, det(u, v, w) = 0, pues la altura de este paralelepípedo es 0.

Definición algebraica de determinante de orden 3

se llama  determinante  de  A  al  número real:

La regla de Sarrus permite recordar fácilmente el desarrollo del determinante de una matriz de orden  3.

Los productos con signo  " + ", están formados por los elementos de la diagonal  principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto.

Los productos con signo  " - ", se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice opuesto.