René Descartes, padre de la geometría analítica, establece la necesidad de tomar un punto de referencia por el que se debe construir todos el pensamiento. Este sistema de referencia será construido tomando un punto de partida y dos rectas perpendiculares que se cortan en ese punto, es el denominado sistema de referencia cartesiano.

Con este sistema de referencia cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números, que suelen escribirse encerrados entre paréntesis y separados por una coma. Los números de cada pareja se llaman coordenadas del punto respectivo, el primer número se llama abscisa y el segundo ordenada.

Comprueba los resultados que has obtenido con la escena, para ello sube o baja los valores de los coeficientes hasta obtener el mismo punto, si es necesario mueve el zoom, y los valores de los ejes OX y OY.

El sistema de referencia cartesiano se divide en cuatro cuadrantes, nombrados en sentido contrario al giro de las agujas del reloj. El punto donde coinciden estos cuadrantes, tienen nombre propio y se llama origen de coordenadas O, y representa los valores (0, 0). Observa, donde se representa los puntos para sacar una conclusión.

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Mueve el punto para buscar los resultados propuestos o, al igual que antes, sube o baja los valores de los coeficientes hasta obtener el mismo punto, si es necesario mueve el zoom, y los valores de los ejes OX y OY.

3. Representa ahora algún punto que sea decimal, para ello sube o baja el valor en el cuadrante de los decimales.

En el apartado anterior observastes que cada una de las coordenadas se representaba en un punto. Ahora bien, si a cada valor de "x" le corresponde un único valor de "y" se dirá que se trata de una función. La representación de los pares de valores relacionados (x, y) dará lugar a la gráfica de la función. En el siguiente punto estudiarás las funciones más representativas.

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4. Observa las dos gráficas de las escenas, una de ellas es una función mientras que la otra no lo es. Por ello, te pedimos que investiges cual de ellas y determina el por qué.

En la unidad didáctica sobre los sistemas de ecuaciones hemos realizado representaciones gráficas para resolverlos, obteniendo como resultados coordenadas cartesianas que satisfacían ambas ecuaciones lineales. Por ello, se puede observar que hay una relación entre las ecuaciones lineales y las funciones.

5. En la siguiente escena, que recordarás del tema de sistemas de ecuaciones, vamos a representar una ecuación lineal sencilla como es:

x + y = 0

Recoge los valores que aparecen en la gráfica para poder completar la siguiente tabla:

Repite el ejercicio para la ecuación lineal x + y = 1, y para x + y = 2.

¿Qué conclusión sacas? ¿Qué relación entre las dos variables?

Como has podido observar existe una relación entre ambas variables, cuando nosotros relacionamos todos los puntos que cumplen una condición de forma general, entonces estamos creando una función. Por ejemplo, si nuestra ecuación lineal fuera 2x + y = 7, todos los puntos de la función cumplen que la y depende de x, en nuestro caso y = 7 - 2x, así observa que los puntos cumplen la condición A (x, 7 - 2x).

Como conclusión observamos que la variable "y" depende de la variable "x", por ello, denominamos variable dependiente a la variable "y" mientras que llamamos variable independiente a la variable "x".

6. Halla el valor de los puntos que cumple la condición de "y" en los siguientes casos propuestos. Resuelve en tu cuaderno a partir de sistemas de ecuaciones lineales y posteriormente comprueba en la escena que coincide dicho valor.

Para entender el concepto de función lineal, vamos a estudiar primero dos tipos de funciones, que son la función identidad y la función doble. A partir de este estudio de dos funciones lineales seremos capaz de definir que es una función lineal y que características tiene.

7. En esta escena representamos la gráfica de la función identidad. A partir de la definición de función identidad, halla el valor de los puntos de la siguiente tabla y anótalo en tu hoja de trabajo. Comprueba en la escena que coincide dicho valor.

Mueve el punto rojo y observa que en la recta están todos los puntos que cumplen la condición y = x. Arrastra el punto hasta conseguir los valores de la tabla y compruébalo con los valores anotados, para ello cambia la escala y la cantidad de decimales.

8. Como en la escena anterior, te proponemos la gráfica de la función doble. A partir de la definición de función doble, halla el valor de los puntos de la siguiente tabla y anótalo en tu hoja de trabajo. Comprueba en la escena que coinciden dichos valores.

Mueve el punto rojo y observa que en la recta están todos los puntos que cumplen la condición y = 2x. Arrastra el punto hasta conseguir los valores de la tabla y compruébalo con los valores anotados, para ello cambia la escala y la cantidad de decimales.

9. En la escena propuesta están representadas la función identidad y doble. Observalas y anota en tu hoja de procesos las características que cumplen.

Mueve el punto rojo con el ratón o con las teclas de dirección derecha o izquierda, o sube o baja el valor del parámetro "x" y observa que ocurre.

10. La pendiente de la recta, m, tiene mucha relación con las coordenadas de los puntos por donde pasa. Para descubrirlo toma nota de un par de puntos de las funciones estudiadas en la escena e intenta relacionar los puntos con la pendiente. Anota las conclusiones.

11. A continuación, te proponemos que des valores a la pendiente m. Para ello, introduce el valor y luego "intro", o sube y baja el valor de m con los botones de subida o bajada.

Observa que ocurre cuando te acercas al valor 0 y cuando te alejas. Anota en tu hoja de procesos las conclusiones.

12. En la escena propuesta están representadas la función doble y la función afín y = 2x + 1. Observalas y anota en tu hoja de procesos las diferencias y semejazas de ambas.

¿Cómo son entre sí las rectas que representan ambas funciones? ¿Dónde corta a los ejes la gráfica de cada función?

Mueve el punto rojo o sube o baja el valor del parámetro "x" y observa que ocurre.

13. Representa en el cuaderno las gráficas de las funciones:

A continuación, en la escena representalas y comprueba que son el mismo gráfico.

¿De qué parámetro depende la inclinación de la recta? ¿De qué parámetro depende el punto de corte con el eje Y?

Con los pulsadores de los controles m y n consigue poner el valor de la gráfica deseada.

Durante este curso vamos a iniciar el concepto de función cuadrática. Para ello, vamos a estudiar las funciones y = x² e y = x² + k.

14. Completa la siguiente tabla para la función y = x². Representa en el cuaderno la gráfica de dicha función:

Modifica los valores de x para valores mayores y menores que cero haciendo clic en las flechas. (También puedes escribir un valor concreto de x borrando el actual y dando a la tecla intro).

15. Completa la siguiente tabla para la función y = x² + k. Representa en el cuaderno la gráfica de dicha función:

Modifica los valores de x para valores mayores y menores que cero haciendo clic en las flechas. (También puedes escribir un valor concreto de x borrando el actual y dando a la tecla intro).

16. Observa ambas funciones cuadráticas, y anota en tu hoja de procesos cuales son sus semejanzas y sus diferencias.

¿Qué conclusión puedes sacar?

Todas la funciones tienen características que se pueden estudiar. En este punto te iniciarás en la caracterización de funciones a través de su representación gráfica. Para ello, primero debes conocer una serie de parámetros a estudio, como son: Dominio y recorrido, Puntos de corte con los ejes, Intervalos de Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, y asíntotas.

17. Representa en la siguiente escena una función lineal y otra cuadrática, y observa cual es el dominio y recorrido de dicha función.

Inserta la función en los hueco para ello, y posteriormente pulsa intro para poder representarla en la escena.

18. Representa en la siguiente escena una función lineal y = 8x + 3; e y = 3 -8x. Anota en tu cuaderno lo que observas. ¿Qué relación hay entre la pendiente y el crecimiento y decrecimiento de una función lineal?.

19. Al igual que en el ejercicio anterior, anota en tu cuaderno lo que observas tras representar las funciones y = x² - 2 e y= 5 - x²

Inserta la función en los hueco para ello, y posteriormente pulsa intro para poder representarla en la escena.

20. En los ejercicios anteriores obtén el valor de los puntos de corte con los ejes.

21. Representa en la siguiente escena las distintas funciones propuestas y estudia las características tratadas en este punto para cada una de ellas: