9. Volumes de esferas, cilindros e conos.

Xeometría

5. AMPLIACIÓN: DEDUCCIÓN DA FÓRMULA DO VOLUME DA ESFERA.

Na imaxe temos unha esfera, un dobre cono e un cilindro. Todos teñen o mesmo raio, a altura de cada cono é igual ao raio, e a altura do cilindro é igual ao diámetro. Arquímedes descubriu que se lles seccionamos por un plano horizontalmente a área da sección da esfera máis a do cono é igual á do cilindro.

r é o raio nas tres figuras.
a é o raio da sección na esfera.
b é a distancia en vertical ao centro.
Neste cono se cumpre que o raio da súa sección coincide coa distancia ao centro, xa que a inclinación da xeratriz é 45º

Área da sección da esfera = π · a²

Área da sección do cono = π · b²

Área da sección do cilindro = π · r²

Se sumamos as dúas expresiones primeiras e aplicamos o teorema de Pitágoras no triángulo rectángulo da primeira figura
π · a² + π · b² = π · (a² + b² ) = π · r²

Isto tamén demostra que o volume da esfera máis o volume dos conos é igual ao volume do cilindro.

Baseándote en elo deduce a ecuación do volume da esfera.

Esta propiedade tamén nos aporta un método para achar o volume dun segmento esférico. O segmento esférico é a parte de esfera que está entre dous planos paralelos. Para achar o seu volume bastaríanos para achar o volume da parte correspondente de cilindro e restarlle a parte correspondente dos conos.

Busca información sobre Arquímedes e escríbea no teu caderno.

  Unidade de Eduardo Barbero Corral traducida por Paula Blanco Mosquera

© Ministerio de Educación. Año 2006