SIMETRÍAS

Xeometría

1. SIMETRÍA AXIAL

Unha simetría respecto dun eixe r transforma un punto A en outro A´ de forma que o eje r sexa mediatriz do segmento AA´. A simetría conserva as distancias pero non o sentido dos ángulos. 

- Observa a orde dos vértices do triángulo amarelo e o do triángulo turquesa, transformado mediante a simetría axial. Son iguais ou distintos?

- Move co rato o punto B ata que estea alineado con A e C. Observa cómo a simetría cambia a orde dos puntos.

- Sitúa C sobre o eixe de simetría e os puntos A e B sobre B´ e A´ respectivamente. Observa que o triángulo ABC é isóscele e que seu transformado A´B´C´coincide con el. Neste caso se di que o triángulo ABC ten un eixe de simetría. Cantos tería un triángulo equilátero?

2. EIXES DE SIMETRÍA

Si o simétrico dunha figura respecto dun eixe coincide con ela mesma, entonces dise que ten un eixe de simetría. Nesta escena Descartes dispoñemos de catro puntos que forman un rectángulo e un eixe de simetría r que pode desprazarse a esquerda e dereita.

- Despraza o eixe de simetría ata que a figura simétrica do rectángulo ABCD coincida con ela mesma. Nese momento podemos dicir que r é un eixe de simetría do rectángulo. Por onde pasa? Saberías dicir se ten algún mais?

-Preme no botón inicio e constrúe un triángulo isósceles de base 4 facendo coincidir os vértices A e B do rectángulo. Busca, seguindo o método anterior, se ten algún eixe de simetría e averígua por onde pasa.Ten algún outro eixe de simetría? E se fora  un triángulo equilátero?

3. SIMETRÍAS NO PLANO CARTESIANO

As simetrías que teñen por eixes os eixes cartesianos teñen expresións sinxelas. Se chamamos ao eixe de ordenadas r e ao eixe de abscisas s os transformados mediante esas dúas simetrías do punto A aparecen como Ar e As.

- Acha os simétricos respecto dos eixes r e s dos seguintes puntos: A(1,1), B(-2,3), C(2,-1), D(-2,-3).

- Se se tratara dun punto calquera de coordenadas (x,y) acha as súas coordenadas mediante as simetrías de ambos eixes.

- Calcula e debuxa no teu caderno as coordenadas dos cadrados simétricos ao de vértices A(1,1), B(1,4), C(4,4) e D(4,1) respecto aos eixes r e s

4. COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS

Ao aplicar dúas simetrías poden presentarse varios casos:

• Que se aplique dúas veces a mesma simetría, entón obtemos unha identidade

• Que as dúas simetrías teñan eixes paralelos, entón a súa composición se converte nunha translación con desprazamento o dobre da distancia entre eixes.

• Que os eixes se corten, entón o seu produto é un xiro de centro o corte dos eixes e ángulo o dobre do que forman os eixes

-Move os vértices do triángulo laranxa e mira como se conserva a forma e o tamaño dos correspondentes. 

- Arrastra os eixes en ambos sentidos para comprobar que se cumpre a relación entre dimensión do desprazamento e distancia entre eixes.

- Arrastra o eixe s ata situalo enriba do r e observa cómo coinciden os triángulos ABC e A´´B´´C´´ 

-Preme no botón Inicio e debuxa no teu caderno unha situación similar á presentada na escena. Comproba que a translación equivalente é do tamaño dobre que a distancia entre eixes. 

- Investiga qué pasaría se primeiro aplicaras a simetría a s e logo a r. Daría o mesmo resultado?

- Move na escena descartes os puntos r e s para compoñer distintas simetrías e observa a magnitude do ángulo de xiro obtido.

  Unidade de Miguel García Reyes traducida e adaptada por Paula Blanco Mosquera

© Ministerio de Educación. Año 2001