CONTINUIDAD Y discontinuidad DE UNA FUNCIÓN
Análisis
 

2.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
La idea de función continua es la de que puede ser construida en un solo trazo
2.1- DISCONTINUIDADES

He aquí varias razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:

A) Tiene ramas infinitas en ese punto:
En este tipo de funciones el denominador se hace cero para x=a, por lo que hay una rama infinita en x=a 

El punto de DISCONTINUIDAD es x=a 

Si vas dando valores distintos a x, abscisa del punto P de la función ¿qué ocurre cuando x=a

Puedes cambiar el valor de a en la escena y viendo las distintas funciones que tienen un punto de DISCONTINUIDAD en x=a 

Este tipo de funciones se da de forma "natural" y no están definidas en el punto en que son discontínuas.

B) Presenta un salto:

Esta es una función definida a trozos

Si x  a,  es y = x 
Si x > a, es y = 1

El punto de DISCONTINUIDAD es x=a

Puedes cambiar el valor de a en la escena e irán dibujándose distintas funciones. 

El punto (a,a) verde es de la función, pues para a es y=x 

El punto (a,1) (hueco) no pertenece a la función pues y es igual a 1 sólo para x>a

El punto rojo indica el valor de x donde la función NO ES CONTINUA.

¿Para qué valor de a la función que representa es CONTINUA

Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente, y están definidas en el punto en que son discontinuas.

C) No está definida (le falta un punto)

En la escena siguiente, la función NO ES CONTINUA en x=a porque para ese valor se hace cero el denominador. Pero existe para el resto de valores de x.
Solamente le falta un punto.
Su dominio es D=R-{a} 

En la escena el punto cuya abscisa es x=a está rodeado por un pequeño círculo hueco, para indicar que es el único punto que le falta a la gráfica para ser continua.

P es un punto cualquiera de la función que puedes ir moviendo al introducir su valor de la abcisa x.

Comprueba qué ocurre cuando x=a.

También puedes cambiar el valor de a e ir viendo las  distintas funciones similares, pero con el punto de discontinuidad en otro lugar.

Este tipo de funciones se da de forma "natural" y no están definidas en el punto en que son discontinuas.

D) El punto que le falta lo tiene desplazado
En esta escena se puede ver una función que tiene un punto desplazado

El Dominio de esta función es R, o sea existe para cualquier valor real de x, pero NO ES CONTINUA  en x=a
El punto
(a,a) (en hueco) no pertenece a la función, se ha desplazado al punto (a,1) que sí pertenece a la función.

El punto P es un punto cualquiera de la función.

Comprueba lo que ocurre cuando introduces en la escena el valor x=a  siendo x la  abscisa del punto P.

Para distintos valores de a van apareciendo funciones similares a la del inicio. Pero hay un valor de a para el cual tendremos una función continua y ya no habrá huecos en la gráfica. ¿Cuál es ese valor de a

Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente, y están definidas en el punto en que son discontinuas.
Es interesante observar que las funciones que presentan ramas infinitas (A) o puntos desplazados (C) son las únicas que presentan discontinuidades de forma "natural" y no están definidas en el punto en que son discontinuas.
Esto es general y nos va a permitir dar un criterio eficaz y sencillo.

2.2.-CRITERIO PARA RECONOCER FUNCIONES CONTINUAS 
Todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta el momento) son continuas en todos los puntos en los que están definidas.
EJEMPLOS:

y = x3 - 3x + 2 está definida en todo R. Por tanto es continua en todo R.
 
es
continua en todos los puntos, salvo en x = -3, en donde no está definida.


       
           
  Original de Ángela Núñez Castaín
Modificat per Eva Lindo
 
© Ministerio de Educación. Año 2001
 
 

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