7. Funcions inverses

Siguin les següents funcions:

Anem a calcular la funció composta de f i g.

Observa que aquestes dues funcions tenen la particularitat de que en actuar successivament sobre un nombre x, el nombre es manté, és a dir, que el que fa una ho desfà l'altra.

Què ocurrerà si calculem la funció composta de g i f?

El resultat és el mateix, no importa l'ordre en el que es realitza la composició de les dues funcions.

Es diu aleshores que aquestes dues funcions són inverses, o que una és inversa de l'altra. Si una de les funcions inverses és f(x), l'altra es representa per f ^-1(x).

Per què dues funcions f(x) i f ^-1(x) siguin inverses s'ha d'acomplir la condició següent:

Si f(a) = b, aleshores f ^-1(b) = a, doncs com a conseqüència s'acompleixen les condicions anteriors:

• f ^-1 [ f(x) ] = x

• f [ f ^-1(x) ] = x

Les gràfiques de dues funcions inverses són simètriques respecte a la recta y = x.

En aquesta escena pots veure les gràfiques de les funcions anteriors f(x) i f ^-1(x). 

Observa que són simètriques respecte a la recta y = x.

Per trobar la funció inversa d'y = f(x) es procedeix de la següent manera:

1. En la funció y = f(x), s'intercanvien la x i la y, és a dir, on apareix x posem y, i on apareix y posem x.

2. En l'expressió obtinguda s'aïlla la y, resultant la funció f ^-1(x).

Anem a veure un exemple. Sigui y = f(x) = 5x -7, calcula la funció inversa.

y = 5x - 7 => x = 5y - 7 => y = (x + 7)/5, així doncs f ^-1(x) = (x + 7)/5.

Anem a veure un altre exemple. Calcula la funció inversa d'y = 2x. Evidentment és f ^-1(x) = x/2. Utilitza l'escena anterior, introdueix les fórmules d'ambdues funcions en els corresponents quadres d'edició, prem la tecla "Intro" i comprova la seva simetria respecte a la recta y = x.