LUGARES GEOMÉTRICOS 
Geometría
 

9. LUGARES GEOMÉTRICOS
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad

9.1. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos X que equidistan de sus extremos:

dist(X,A) = dist(X,B).

Si mueves con el ratón el punto A y/o el punto B, o cambias sus coordenadas en los botones inferiores, verás que los puntos X de la mediatriz, siempre permanecen a la misma distancia de A y de B.

Pero también puedes ver que la mediatriz corta al segmento AB en su punto medio M, y es perpendicular a él. 

Por esta razón los vectores MX y AB son perpendiculares, o sea su producto escalar es cero.

Todo esto lo puedes comprobar en la escena.
Para hallar la ecuación de la mediatriz basta aplicar que dist(X,A)=dist(X,B)

Así en el inicio de la escena tenemos  A(-3,4), B(1,0) y X(x,y),  luego

 

Y efectuando las operaciones nos queda la ecuación de la recta y = x + 3, que es la mediatriz del segmento AB. 

Puedes también comprobar en la escena que la recta representada es y = x + 3, pues tiene de pendiente 1 y de ordenada en el origen 3.


EJERCICIO 23

1.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(0,5) y B(4,3).

2.- Comprueba tus cálculos en la escena anterior y escribe en tu cuaderno cuál es la pendiente de la recta obtenida y la ordenada en el origen.

3.- Calcula el producto escalar de los vectores MX·AB, que si lo has hecho todo correctamente ha de dar igual a cero, pues son perpendiculares.

4.- Calcula las distancias AX y BX, que puedes comprobar en la escena.

5.- Calcula las coordenadas del punto medio M del segmento AB, y compruébalo en la escena.


9.2. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO 
La bisectriz de un ángulo de lados r1, r2 es el lugar geométrico de los puntos X que equidistan de r1 y de r2:

dist(X,r1) = dist(X,r2).

El parámetro a que aparece en el botón inferior de esta escena, corresponde a la abscisa del punto X. Si cambias el valor de a, verás los distintos puntos X de la recta roja, que es la bisectriz del ángulo que forman las otras dos rectas azules.

Para cualquier punto X de la bisectriz, la distancia de X a las dos rectas que forman el ángulo es la misma. Mueve el punto X y lo comprobarás. 
Para hallar la ecuación de la bisectriz, basta aplicar la expresión: 
dist(X,r1) = dist(X,r2

 En nuestro caso nos queda así:  

Pero si |A|=|B| se pueden dar dos casos: A=B  o  A=-B  

Por tanto puede ser: 

11x+2y-20=2x+11y+7 

o bien

11x+2y-20=-2x-11y-7. 

De la segunda igualdad resulta: x+y-1=0, que es la bisectriz (recta roja) que hemos representado. Corresponde al ángulo que forman las dos rectas azules, y que hemos representado en amarillo. 
De la primera igualdad resulta: x-y-3=0, que es la bisectriz (recta gris) que hemos representado. Corresponde al otro ángulo que forman las dos rectas azules, o sea al suplementario del ángulo amarillo representado. 

Las dos bisectrices se cortan en el mismo punto que lo hacen las rectas y son perpendiculares entre sí.


EJERCICIO 24
El parámetro m que aparece en esta escena es la pendiente de la recta roja.

Tenemos dos rectas, r1 y r2, que se cortan en un punto formando un ángulo, del que queremos hallar su bisectriz

Las ecuaciones de r1 y r2  pueden verse en la escena, así como las distancias de un punto X de la recta roja a r1 y r2.

Halla la ecuación de la bisectriz, y cuando averigües su pendiente, m, introduce su  valor en la escena , y comprueba que se cumple que:

dist(X,r1) = dist(X,r2)

Hay dos bisectrices, la que vas a representar es una de ellas.

9.3. CIRCUNFERENCIA

Circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos, X, cuya distancia a C es r

dist (X,C) = r

Si mueves con el ratón el punto X, verás que la distancia de C a X  sólo es 5 cuando X está en la Circunferencia.

EJERCICIO 25

En este ejercicio vas a hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-3,0) y radio r=5
Tienes que aplicar la expresión:

  dist(X,C) = r

para llegar a obtener la ecuación de la circunferencia que se muestra en la parte inferior de la escena.  

Donde X(x,y), C(-3,0) y r=5 

Nota: La circunferencia la estudiarás más detenidamente en otro tema.


9.4.  ELIPSE
Elipse de focos F1 y F2 y constante k, es el lugar geométrico de los puntos, X, cuya suma de distancias a los focos es k:

dist(X,F1) + dist(X,F2) = k

Aquí tenemos dibujada la elipse cuyos focos son F1(-5,2) y F2(4,9) y k=15

Si desplazas el punto X con el ratón, verás que solamente cuando X es un punto de la elipse, se cumple que: 

d1 + d2 = 15

Para hallar la ecuación de la elipse, basta aplicar la expresión: 
dist(X,F1) + dist(X,F2) =15 
siendo X(x,y), F1(-5,2) y F2(4,9)  

Esto es,  resulta la siguiente ecuación:

  
Nota: La elipse la estudiarás más detenidamente en otro tema.


       
           
  Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001