Ecuaciones de la recta
Geometría
 
3. ECUACIONES DE LA RECTA

Una recta r queda determinada vectorialmente del siguiente modo: 

  • Dando un punto P de la recta, lo cual supone dar el vector OP =p, llamado vector de posición.

  • Dando un vector, d, paralelo a la recta llamado vector dirección.

    • Si en la escena adjunta vamos cambiando el valor del parámetro t y observa los vectores de origen O, p, p+d, p+2d, p-d, ... todos ellos tienen su extremo sobre la recta r. 

    En general, p+td es un vector que, si se sitúa con su origen en O, tiene su extremo, X, sobre la recta r y se desliza sobre ella al variar t.

    3.1.  ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
    Ésta que se ha descrito es la ecuación vectorial de la recta:
    OX = p +t.d
    O   es el origen de coordenadas 
    X    es un punto cualquiera variable de la recta 
    p   es el vector posición de un punto P conocido de la recta 
    d   es un vector dirección conocido, paralelo a la recta 
    t   es un parámetro. Al dar valores a t, obtendremos los distintos puntos X de la recta
    3.2. eCUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

    Si en la ecuación vectorial se sustituyen los vectores por sus coordenadas, queda así: 

    (x,y) = (p1,p2) + t (d1,d2)

    Expresando por separado cada coordenada se obtienen las ecuaciones paramétricas:
    (x,y)   son las coordenadas de un punto cualquiera desconocido de la recta 
    (p1,p2)   son las coordenadas de un punto conocido de la recta 
    (d1,d2)   son las coordenadas de un vector paralelo a la recta 
    t  es un parámetro. Para cada valor que le demos a t se obtiene un punto (x,y) de la recta.
    3.3. eCUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA

    Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos el parámetro (por ejemplo, despejando t en una de ellas y sustituyendo su valor en la otra), se obtiene una única ecuación del tipo:

    Ax + By + C = 0

    llamada ecuación general o implícita de la recta
    EJEMPLO
    Vamos a hallar las distintas ecuaciones de la recta r representada en esta escena.

    Tomamos: 

    • el vector posición de un punto cualquiera de r 
      p(3,6)

    • un vector cualquiera, paralelo a r  
      d(3,2)

    ECUACIÓN VECTORIAL

    OX = p +t.d
    En esta escena si vas cambiando el valor del parámetro t, irás viendo los distintos puntos X de la recta r, y sus coordenadas deducidas de las ecuaciones paramétricas.

    ECUACIONES PARAMÉTRICAS

    Para despejar la t, multiplicamos la primera ecuación por 2, la segunda por -3 y sumamos:  
    2x-3y=-12

    ECUACIÓN GENERAL

    2x-3y+12=0
    EJERCICIO 6
    Hallar las ecuaciones paramétricas y la implícita de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(1,4)

    Tal como hemos dicho antes, para tener definida una recta vectorialmente, necesitamos tener un punto de la misma y un vector de la misma dirección. 

    Punto: cualquiera de los dos dados, A o B 

    Vector dirección: el que une los dos puntos dados AB 

    1.- Ahora escribe en tu cuaderno las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(1,4).

    2.- Elimina la t entre las dos ecuaciones paramétricas y calcula la ecuación implícita.

    3.-Dale a t tres valores distintos, sustitúyelos en las ecuaciones paramétricas, calcula las coordenadas de los puntos de r en cada caso, y comprueba en la escena que son puntos de la recta cambiando el valor de t.

    Si quieres ver algún punto que se sale de la escena, puedes cambiar la escala o la posición de los ejes en los botones superiores de la misma

    4.- Mueve el punto B, cambiando el valor de t, y repite los apartados 1 y 2 para el nuevo punto B. 

    Podrás comprobar que la ecuación implícita que resulta es la misma, y que los puntos que se obtienen de las paramétricas, son los mismos que antes.

    EJERCICIO 7
    Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta: 3x - 4y = 10 

    1.- Empieza hallando dos puntos de la recta. 

    Primer punto: sustituyendo en la ecuación implícita dada el valor y=-1, obtienes el valor de x correspondiente a ese punto de la recta. 

    Segundo punto: sustituyendo y=2, obtienes otro valor de x del otro punto 

    Mueve el punto P en la escena para comprobar los dos puntos.  

    2.- Conociendo dos puntos el ejercicio es similar al anterior. Escribe en tu cuaderno las ecuaciones paramétricas.

    3.- Dale tres valores a t, en dichas ecuaciones, y comprueba en la escena que son puntos de la recta representada.

           
               
      Ángela Núñez Castaín
     
    © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001