PRODUCTO ESCALAR
Geometría

11. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

u . v = |u| . |v| . cos (u,v)

Producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman

¡Atención! |u|, |v| y cos (u,v) son números. El producto u . v es un número. De ahí le viene el nombre, pues escalar significa número. O sea el resultado del producto escalar de dos vectores NO ES UN VECTOR, ES UN NÚMERO.

NOTA: A partir de ahora vamos a considerar siempre que las coordenadas de todos los vectores están referidas a la base ortonormal B(x,y), siendo las componentes de x(1,0) y las de y(0,1)

En la escena siguiente puedes mover con el ratón los extremos de los vectores u y v, verás como va cambiando el |u|, el |v|, el ángulo que forman A, y su coseno. Por último verás el producto escalar de los dos vectores, o sea u.v

12. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
1.- Comprueba que si u=0 o v=0, entonces u.v=0 
2.- Comprueba que si u es perpendicular a v, u.v=0, siendo u ¹ 0 y v ¹ 0, pues entonces A=90º, y el cos90º=0 

3.- Propiedad conmutativa 
u.v = v.u  

4.- Propiedad asociativa 
a(u.v) = (au).v 
 a=número 
u=vector 
v=vector

5.- En una base ortonormal B(x,y) o sea x=(1,0) y=(0,1) se cumple

x.x = 1

Para comprobarlo pones en la escena anterior 
u = x = (1,0)      v = x = (1,0)

y.y = 1

Para comprobarlo pones en la escena anterior 
u = y = (0,1)      v = y = (0,1)
x.y = y.x = 0 Para comprobarlo pones en la escena anterior 
u = x = (1,0)      v = y = (1,0)
6.- v.u = |v|.(|u|.cos (a)) = |v|.(proyección de u sobre v) 
de donde:

proyección de u sobre vvectores6_1.gif (972 bytes)

vectores6_2.gif (1687 bytes)

7.- Propiedad distributiva:
u. (v + w) = u.v + u.w
Moviendo los extremos de los vectores u, v y w, podrás comprobar esta propiedad

13. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR
Si las coordenadas de los vectores u y v respecto a una base ortonormal son:
u (u1,u2) v(v1,v2) el producto escalar queda así:
u.v = u1.v1 + u2.v2
Podrás comprobarlo en la escena siguiente, moviendo los extremos de los vectores u y v (o cambiando los valores de las coordenadas en los botones inferiores),  viendo el valor de sus coordenadas y de su producto escalar   u.v

EJERCICIO 13

Comprueba las propiedades 1 y 2 del producto escalar:

1.- Mueve el extremo de u hasta que sus coordenadas sean (0,0), o bien introduce los valores (0,0) en los botones inferiores de la escena, para comprobar la propiedad 1. 

2.- Después de dar al botón inicio, anota en tu cuaderno las coordenadas de u y v y las operaciones necesarias para obtener el producto escalar u.v 

3.- Con los botones inferiores de la escena, cambia las coordenadas de los vectores para que sean perpendiculares. 

4.- Anota en tu cuaderno las coordenadas elegidas y el cálculo del producto escalar u.v


14. MÓDULO DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS
 
v.v = |v|.|v|.cos (v,v) = |v|2.cos 0 = |v|2.1 = |v|2

Por tanto: vectores6_3.gif (1000 bytes)

Si las coordenadas de v son (v1,v2)

v.v = v1.v1 + v2.v2 = v12 + v22

vectores6_4.gif (1132 bytes)

15. COSENO DEL ÁNGULO DE DOS VECTORES
 

De la definición de producto escalar: 
u.v = |u|.|v|.cos(u,v)

se deduce que: vectores6_5.gif (1185 bytes)

Y mediante las coordenadas:

vectores6_6.gif (1594 bytes)

EJERCICIO 14

Con los vectores u y v de la escena del EJERCICIO 13 ya vimos cuánto valía u.v, calcula ahora en tu cuaderno:
1.- |u|

2.- |v|

3.- cos (u,v) y el ángulo (u,v)

4.- ¿Cuánto tiene que valer x para que v(x,2) sea ortogonal a u? Observa la relación entre las coordenadas de u y éste vector ortogonal a él.

Las soluciones a este ejercicio las puedes comprobar en la escena siguiente:

Ángela Núñez Castaín
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001