Vamos a analizar ahora qué es lo que tienen en común las dos situaciones planteadas en la página anterior.

• En el primer caso (estudio de desplazamientos), la información que hemos analizado venía expresada en forma gráfica. Esas gráficas establecían una relación (numérica en este caso) entre dos magnitudes: el tiempo (medido en minutos) y la distancia (medida en km). Como puedes comprobar, en las cuatro gráficas se verifica que en un determinado instante, t, el punto que representa la distancia recorrida no puede estar en dos posiciones diferentes. En otras palabras, a un valor determinado de t le corresponde un valor y sólo uno de la distancia.

EJERCICIO 1. Observa que lo contrario no es necesariamente cierto: en una de las gráficas se produce la siguiente situación: una distancia determinada es alcanzada en dos instantes de tiempo diferentes. ¿En qué gráfica se da esa situación? ¿En qué se ve que se da esa situación?

• En el segundo ejemplo nos encontramos, a su vez, con tres situaciones distintas. Las informaciones que se estudian en este segundo ejemplo vienen descritas en forma de tablas numéricas. Cada una de las tres tablas que se analiza establece una relación entre dos magnitudes numéricas: la tabla 1 entre la temperatura del agua medida en ºC y el número medio de crías que tiene una hembra de pulga de agua dulce en ese agua al día; la tabla 2 establece una relación entre el tiempo (medido en semanas) y la temperatura media del agua de una canal (medida en ºC); por último, la tabla 3 establece una relación entre el tiempo (medido en semanas) y el número medio de crías. Al igual que en los casos anteriores se verifica que a un valor determinado de la primera magnitud (en cualquiera de las tres tablas) le corresponde un valor y sólo uno de la segunda magnitud.

Lo contrario, en cambio, no siempre es cierto: observa la tabla 1. El número medio de crías puede ser de 2,0 a una temperatura de 15º y a una temperatura de 25º.

Todo esto nos lleva a la siguiente definición: "Una función es una ley que relaciona dos magnitudes númericas (llamadas variables) de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la primera magnitud (llamada variable independiente) le hace corresponder un valor y sólo uno de la segunda magnitud (llamada variable dependiente). Suele decirse que la segunda magnitud es función de la primera."

Utilizando estas expresiones en nuestros ejemplos, diremos que la distancia recorrida por los alumnos del primer caso es función del tiempo que han empleado en recorrerlo; el porcentaje de distribución de la riqueza de un país es función del porcentaje de población que la detenta; el número medio de crías de la pulga de agua dulce por hembra y día es función de la temperatura del agua en que viven.

Todos los ejemplos analizados nos permiten ver que a pesar de tratarse de situaciones completamente diferentes todas pueden expresarse simbólicamente de la misma forma:y = f (x) donde x representa la variable independiente e y la variable dependiente. Esta manera de representar una función es especialmente interesante cuando la relación f entre la x y la y viene dada por una expresión matemática, pues en ese caso podemos saber con certeza los valores que toma la variable dependiente para cualquier valor que tomemos de la variable independiente. Más aún, si disponemos de una expresión matemática de la función podremos construir con facilidad una tabla de valores de la misma y una gráfica, pues cada pareja de valores (x,y) de la tabla que hagamos representa un punto del plano. Uniendo todos los puntos de la tabla obtendremos la gráfica de la función.

• Una gráfica. En los ejemplos expuestos la gráfica ha sido de tipo lineal, pero existen multitud de formas gráficas de representación de una función.

• Una tabla de valores.

• Una frase que exprese la relación entre ambas variables.

• Una expresión matemática del tipo y=f(x).