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Ce triangle de Pascal a de merveilleuses propriétés.
En voici quelques unes :
L'escalier :
Sur les bords,
il n'y a que des 1
jusqu'en bas.
Puis à côté c'est la suite
des nombres 1, 2, 3, 4...
Ensuite chaque nombre
est la somme des deux du dessus.
Si tu veux facilement connaître la somme des 6 premiers nombres sans te fatiguer alors c'est très facile.
Prends la troisième diagonale et va jusqu'au sixième nombre, il te donnera le résultat. Ici ,c'est 21.
Si tu veux connaître le nombre de droites tracées avec des points dont 3 ne sont jamais alignés, c'est très simple avec cette troisième diagonale.
Avec 2 points : 1 droite.
Avec 3 points : 3 droites.
Avec 4 points : 6 droites.
Elle te donne aussi le nombre de poignées de mains échangées entre des personnes. Essaie...
Si tu veux connaître le nombre de façons de choisir 3 personnes parmi un nombre quelconque, regarde la diagonale rose.
Il y a 1 possiblité parmi 3 personnes.
Il y a 4 possiblités parmi 4 personnes.
Il y a 10 possiblités parmi 5 personnes.
Il y a 20 possiblités parmi 6 personnes...
D'abord 4 parmi 4, puis parmi 5
Ce triangle est très utile aux probabilités.
la 6ème ligne donne les coefficients de (a+b)5 :
|
et (1+1)5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 |
Les coefficients de (a+b)n sont donnés par la (n+1)ième ligne et la somme des nombres de chaque ligne est une puissance de 2 !
Autres exemples (on retrouve ainsi les identités remarquables)
(a+b)2= 1 a2 + 2 ab + 1 b2
(a+b)3 = 1 a3+ 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3
(a+b)4 = 1 a4+ 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 4 ab3 + 1 b4
Une MERVEILLE ce triangle de Pascal !
Bien d'autres choses restent à découvrir encore !
Voir aussi les chemins de Pascal
(1) Blaise Pascal Savant mathématicien physicien et philosophe français (Clermont-Ferrand 1623 - Paris 1662). Il conçut entre autres une machine arithmétique dite machine de Pascal capable d'effectuer les quatre opérations qui lui valut immédiatement une grande célébrité.
